Espacio-tiempo estático y solución de Schwarzschild

Question

Espacio-tiempo estático y solución de Schwarzschild

willie

El espacio-tiempo de Schwarzschild $(\cal{M},g)$ , para el cual la métrica es una solución para la ecuación de campo de Einstein en el vacío,

gramo = - (1 - \frac{2 metro}{r}) d t^{2} + (1 - \frac{2 metro}{r})^{- 1} d r^{2} + r^{2} d Ω^{2}

$g=-\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)dt^2+\Big(1-\frac{2m}{r}\Big)^{-1}dr^2+r^2d\Omega^2$ seguramente está estacionario en la región

{r > 2 m}

$\{r>2m\}$ y he leído que también es estático.

Por definición, un espacio-tiempo es estático si existe una función $t:\cal{M}\rightarrow \mathbb{R}$ st si $X$ es un campo vectorial asesino, entonces $X^b=g(X,X)dt$ , dónde $X^b$ es la única forma asociada a $X$ a través de la métrica $g$ .

Ahora, no he entendido el sentido de esta definición y, por lo tanto, no puedo entender cómo, mirando la métrica anterior, puedo decir que esto es estático. quiero decir por qué $\frac{\partial}{\partial t}$ satisface la condición de la estática?

Respuestas (2)

Espacio-tiempo estático y solución de Schwarzschild

jerry schirmer · Answer 1

considere la ecuación de Killing para schwarzschild:

\nabla_{(a} v_{b)} = 0

$\nabla_{(a}v_{b)} = 0$

considerar el ansatz $v_{b} = a(r)dt$

Entonces,

Esto nos da una ecuación no trivial (t,r):

\begin{aligned} 0 & = \partial_{r} a - Γ_{r t}^{t} a \\ = \partial_{r} a - a \frac{METRO / r^{2}}{1 - 2 METRO / r} \\ yo norte (a) & = yo norte (C) + (1 / 2) yo norte (1 - 2 METRO / r^{2}) \\ a & = C (\sqrt{1 - 2 METRO / r}) \end{aligned}

$\begin{align} 0 &= \partial_{r}a - \Gamma_{rt}{}^{t}a\\ &= \partial_{r}a - a\frac{M/r^{2}}{1-2M/r} \\ ln(a) &= ln(C) + (1/2)ln\left(1-2M/r^{2}\right)\\ a &= C\left(\sqrt{1-2M/r}\right) \end{align}$

Entonces, $dt$ no es la forma covariante del vector asesino, tiene que ser escalado por un factor de $\sqrt{|g_{tt}|}$

Es un campo de vector asesino ya que la métrica no depende explícitamente de $t$ !! Y también $\partial \phi$ ¡esta matando!
Te equivocas en los comentarios anteriores (la respuesta es correcta): si la métrica es independiente de $t$ entonces la contravariante KVF $\xi^a= (1,0,0,0)$ . Los componentes correctos de la covariante KVF son como Jerry escribió anteriormente. A menudo verá personas que escriben que el KVF es $\partial_t$ pero esto realmente significa lo mismo.
@Umaxo cuando se trabaja con vectores Killing, es bastante estándar trabajar con componentes de índices elevados y bajos. No creo que la última declaración de Jerry Schirmer que $\xi = \partial_t$ no es un vector Killing es correcto. Pero su expresión para los componentes covariantes que uno encuentra de la ecuación de Killing es.
@Umaxo Ah, si su única queja fue con la última declaración, no estoy en desacuerdo con usted, entendí mal que la respuesta en sí era incorrecta. Parece un problema de notación.
@Eletie lo suficientemente justo. No revisé sus ecuaciones, solo la última oración.
Y sí, la versión de esto que usa derivados de mentira explícitos de la métrica, en lugar de la forma que usa derivados covariantes, terminas con $\xi^{a}\partial_{a}g_{bc}$ términos, en lugar de símbolos de Christoffel, y sigue siendo equivalente
@JerrySchirmer de su respuesta, no entiendo cómo reconocer la estática de la solución de schwarschild ...

tonotillo 4 · Answer 2

Todo lo que dices en la pregunta tiene mucho que ver con la derivada de Lie . Puede buscar la definición en línea, pero en su sentido básico es otra forma de medir el cambio (esto debería ser obvio por la palabra derivada ). La derivada de Lie, a diferencia de otras derivadas, mide un cambio en el campo bajo un difeomorfismo.

Me gusta pensarlo así: imagina que estás caminando sobre una montaña y te preguntas cuánto cambiará tu posición si sigues caminando hacia adelante. Así que lo que haces es caminar una cierta distancia (debería ser infinitesimal, pero olvídalo ahora) en una dirección determinada y luego miras hacia atrás, tal vez miras hacia abajo, tal vez hacia arriba, dependiendo de dónde estés parado. Ahora puede comparar las dos posiciones y así medir algún tipo de cambio en su posición, ¿verdad?

Bueno, ahora imagina que eres un tensor y te mueves infinitesimalmente a lo largo de un camino $\gamma(\lambda)$ Vectores de tangente $X$ (es un campo), y luego retrocede hasta donde empezaste. Entonces felicidades, te has diferenciado Lie.

Un vector Killing (Desafortunado nombre llamativo en mi opinión, pero simplemente llamado así por Wilhelm Killing. Puedes pensar que "mata" al tensor en la derivada, ya que se convierte en cero) es solo un campo vectorial $X$ que es tangente a alguna curva, a lo largo de la cual la derivada de Lie es cero (el tensor no cambia). Para el caso de la métrica, la expresión coordenada es

$\mathscr{L}_X g_{\mu\nu} = \nabla_\mu X_\nu + \nabla_\nu X_\mu = 0$

Puede verificar con esto que la métrica es de hecho estática. Pero realmente espero que, después de la respuesta, no necesite la fórmula para sentir por qué la métrica es estática: después de recorrer cierta distancia en un camino puramente en la dirección del tiempo, la métrica de Schwarzschild no cambia de ninguna manera.

En la fórmula anterior recuerda que $X_\mu dx^\mu$ es COVARIANTE, mientras que $X^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ es CONTRAVARIANTE aunque ambos son los mismos vectores. Solo recuerda girar $X^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ a su forma covariante, y luego puedes usar la fórmula.

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