¿Existe un teorema similar al de Birkhoff para campos de gravedad axialmente simétricos?

Como sabemos, para derivar la solución de Schwarzschild en GR queremos determinar las funciones desconocidas$a,b$(a veces$c$) de

$$(ds)^2 = a(r,t)\;dt^2 - b(r,t)\; dr^2 - r^2d\Omega^2$$ o $$(ds)^2 = a(r,t)\;dt^2 + 2b(r,t)\;drdt - c(r,t)\; dr^2 - r^2d\Omega^2$$ dónde $d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2 \theta \; d\phi^2 \;$es el elemento de línea habitual de la 2-esfera. Cuando se aplica a las ecuaciones de campo de espacio vacío donde $G_{ab} \equiv 0$, el teorema de Birkhoff dice que cualquier solución estática y esféricamente simétrica de las ecuaciones del vacío de la relatividad general es necesariamente la solución de Schwarzschild hasta una transformación de coordenadas. Eso básicamente concluye buscando soluciones exteriores esféricamente simétricas en GR. El siguiente paso lógico es buscar soluciones interiores, que es un juego de pelota completamente diferente.

Estoy interesado en considerar espaciotiempos axialmente simétricos en GR. El enfoque habitual es mirar las métricas de Weyl (como se menciona en los comentarios a continuación) e ir a por todas.

Lo que me confunde es tratar de considerar uno de los siguientes elementos de línea

$$(ds)^2 = a(r,\theta)\;dt^2 + 2b(r,\theta)\;drdt - c(r,\theta)\; dr^2 - r^2d\Omega^2.$$

¿El elemento de línea anterior es axialmente simétrico también es correcto? En términos de coordenadas esféricas polares, es simétrica con respecto a la coordenada del ángulo polar.

En términos de un espacio-tiempo que modela un cuerpo simétrico no esférico para, por ejemplo, un planeta, habría pensado que este elemento de línea es más adecuado que la métrica general de Weyl. Sin embargo, nunca he visto un método que comience con el elemento de línea anterior.

Pregunta ¿Es la solución de Weyl para campos gravitatorios axialmente simétricos como las soluciones de Schwarzschild para campos gravitatorios esféricamente simétricos? En otras palabras, ¿existe un teorema tipo Birkhoff para soluciones axialmente simétricas de las ecuaciones de campo de GR?