Mapa inyectivo de esquemas que no es un monomorfismo

Dejar$L/K$ser cualquier extensión apropiada de campos. La inclusión$K\to L$da un mapa de esquemas afines$\mathrm{Spec}(L)\to\mathrm{Spec}(K)$. Dado que ambos esquemas tienen un solo punto, este mapa es una biyección de los conjuntos subyacentes. Pero no es un monomorfismo, ya que$K\to L$no es un epimorfismo de anillos. Por ejemplo (usando la teoría de Galois si$L/K$es bases algebraicas o de trascendencia si$L/K$es trascendental),$L$admite múltiples incrustaciones distintas en su cierre algebraico$\overline{L}$que se restringen a la identidad en$K$.

La inclusión$\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$es quizás un ejemplo más fácil que el dado por Alex Kruckman. La conjugación de Galois en este último da un morfismo no trivial que es identidad en$\mathbb{Q}$. Entonces, en general, las extensiones de campos algebraicos proporcionan algunos ejemplos relativamente fáciles.

Si desea un ejemplo sobre campos cerrados algebraicamente, la inclusión$R=\mathbb{C}[x]\to S=\mathbb{C}[x,y]/\langle y^2\rangle$puede ser el más fácil. Esto tiene los automorfismos$a:S\to S$dada por$(x,y)\mapsto (x,ay)$. Tenga en cuenta que$a$actúa como identidad en$R$. En general, dado un espesamiento nilpotente dividido$Y$de$X$(es decir, tal que hay una división$Y\to X$) habría automorfismos no triviales de$Y$que son identidad en$X$.