Espacios topológicos con categorías isomorfas de subconjuntos abiertos

Esto no responde completamente a tu pregunta, pero espero que te ayude.

La idea de considerar categorías de abiertos en lugar de puntos de espacios conduce a los llamados locales. Un locale es un poset con intersecciones finitas y todas las uniones (productos y coproductos), que es distributivo. Los morfismos de locales son morfismos que conmutan con toda esa estructura, excepto que tomamos una categoría opuesta, porque un mapa de posets$\mathcal O (X) \to \mathcal O (Y)$corresponde al mapa$Y \to X$en la dirección opuesta.

Ahora, un punto de un lugar$L$es un mapa$\{0,1\} \to L$(porque es un mapa del objeto final, como en$\text{Top}$). Un punto de un espacio$p \in X$determina un punto$\bar{p}$de un lugar$\mathcal O (X)$como un mapa de poses$\mathcal O (X) \to \{0,1\}$tal que es igual$0$en esos subconjuntos$V \subset X$que no contienen$x$. Cuando ocurre lo contrario, el espacio se denomina sobrio . Más precisamente, un espacio sobrio es un espacio$X$tal que para todos$P \in O (X)$satisfactorio

$P \not = X$y$U \cap V \subset P \implies U \subset P \text{ or } V \subset P$

[aquí nos inspiramos en las propiedades de esos puntos$\bar{p}$de$\mathcal O (X)$que vienen de$p \in X$], hay un punto único$x$tal que$P$en el complemento del cierre de$x$.

Los puntos de las localidades se pueden topologizar, lo que da lugar a la adjunción$\text{loc}: \text{Top}\substack{\rightarrow \\[-0.1ex] \leftarrow} \text{Loc}: \text{pt}.$Un espacio es homeomorfo a puntos de su localidad (a través de la unidad de esta adjunción) precisamente cuando está sobrio.