Pregunta sobre la inclusión del mapa horizontal inferior de un diagrama de extracción cuando el mapa horizontal superior es una inclusión.

Dado que su definición de "inclusión" significa "mapa inyectivo", y el funtor olvidadizo$\mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$conserva los desplazamientos (de hecho, todos los colímites), la pregunta se reduce a una pura teoría de conjuntos: el desplazamiento de un mapa inyectivo en$\mathbf{Set}$es de nuevo inyectivo. Aunque es posible una prueba directa, usando la construcción del pushout (ver la otra respuesta), también hay una manera más elegante de ver esto: Primero, es fácil ver que el resultado es verdadero para mapas inyectivos de la forma$\emptyset \to X$, ya que aquí el pushout con el mapa único$\emptyset \to Y$es solo la inclusión en el coproducto$Y \to X + Y$. En todos los demás casos, el mapa inyectivo es una corretracción (también conocido como sección), y ahora podemos usar el siguiente resultado, que se cumple en cualquier categoría: Si$f : X \to Y$es un coretracton y$g : X \to X'$es cualquier morfismo tal que el pushout$f' : X' \to X' \sqcup_X Y$existe, entonces$f'$es también una corretracción y, por lo tanto, un monomorfismo. De hecho, elige$r : Y \to X$con$r \circ f = \mathrm{id}_X$, entonces$\mathrm{id}_{X'} : X' \to X'$y$g \circ r : Y \to X'$acordar$X$(es decir$\mathrm{id}_{X'} \circ g = g \circ r \circ f$), por lo tanto inducir un morfismo$h : X' \sqcup_X Y \to X'$con$h \circ f' = \mathrm{id}_{X'}$.

Aquí una prueba de que si$\iota$es inyectivo, entonces$f$es inyectable también. Un cálculo directo muestra que$X\cong (Y\amalg B)/{\sim}$dónde$\sim$es la relación de equivalencia generada por: