Potencial efectivo para la geometría de Kerr

Question

Potencial efectivo para la geometría de Kerr

Ricardo

En la revisión Foundations of Black Hole Accretion Disk Theory , los autores definen un potencial efectivo para la geometría de Kerr como (Cap. 2, ecuación 23)

{tu}_{mi F F} = - \frac{1}{2} en | {gramo}^{t t} - 2 yo {gramo}^{t ϕ} + {yo}^{2} {gramo}^{ϕ ϕ} |

$\mathcal{U}_{eff}=-\frac{1}{2}\ln\left|g^{tt}-2lg^{t\phi}+l^2g^{\phi\phi}\right|$ dónde

l = \frac{L}{E} = - \frac{u_{ϕ}}{u_{t}}

$l=\dfrac{\mathcal{L}}{\mathcal{E}}=-\dfrac{u_\phi}{u_t}$ es el momento angular específico,

L = p_{ϕ}

$\mathcal{L}=p_\phi$ es el momento angular y

E = - p_{t}

$\mathcal{E}=-p_t$ es la energía.

Se menciona que se elige esta forma del potencial porque al usar el potencial $\mathcal{U}_{eff}$ , la energía reescalada $\mathcal{E}^*=\ln\mathcal{E}$ y $V=u^ru_r+u^\theta u_\theta<<u^\phi u_\phi$ , el movimiento ligeramente no circular se puede caracterizar por la ecuación

\frac{1}{2} V^{2} = {mi}^{*} - {tu}_{mi F F}

$\frac{1}{2}V^2=\mathcal{E}^*-\mathcal{U}_{eff}$

De hecho, la forma de esta ecuación es similar a la de la ecuación newtoniana. Pero no se mencionó nada en el documento con respecto a la derivación del potencial efectivo. Además, no podía entender por qué volvieron a escalar la energía como $\mathcal{E}^*=\ln\mathcal{E}$ .

Mis preguntas:

Cómo derivar el potencial efectivo $\mathcal{U}_{eff}$ ? Sugerencias para la derivación serían suficientes.
¿Cuál es la lógica detrás de la escala de la energía conservada $\mathcal{E}^*=\ln\mathcal{E}$ ?

Respuestas (1)

Potencial efectivo para la geometría de Kerr

Vacío · Answer 1

Tome la normalización de cuatro velocidades $u^\mu u_\mu = -1$ y escribirlo como

1 + {tu}^{r} {tu}_{r} + {tu}^{ϑ} {tu}_{ϑ} = - {gramo}^{t t} {tu}_{t}^{2} - 2 {gramo}^{t φ} {tu}_{t} {tu}_{φ} - {gramo}^{φ φ} {tu}_{φ}^{2}

$1 + u^r u_r + u^\vartheta u_\vartheta = -g^{tt}u_t^2 - 2 g^{t \varphi} u_t u_\varphi - g^{\varphi \varphi} u_\varphi^2$ Ahora reescribe esto en términos de

E = - u_{t}, ℓ = - u_{φ} / u_{t}

$\mathcal{E} = -u_t, \ell = -u_\varphi/u_t$ , tome un logaritmo de la ecuación y use las propiedades

\ln (x y) = \ln (x) + \ln (y)

$\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)$ y

\ln (1 + x) = x + O (x^{2})

$\ln(1 + x) = x + \mathcal{O}(x^2)$ . La cantidad

E^{*}

$\mathcal{E}^*$ se usa simplemente porque es aditivo y en realidad es la energía newtoniana específica sin el término de masa en reposo en el límite newtoniano.

Dejo como ejercicio para el querido lector que los mínimos del potencial $\mathcal{U}_{\rm eff}$ en realidad también corresponden a órbitas circulares.

Gracias. Yo había derivado el resultado. Sin embargo, cuando utilicé este potencial efectivo para encontrar las órbitas marginalmente unidas y marginalmente estables, descubrí que la órbita marginalmente unida coincide exactamente con el potencial exacto de Kerr, pero la órbita marginalmente estable es ligeramente diferente. ¿Cuál podría ser la posible razón de esto?
Deben ser exactamente iguales, creo que el error puede estar en escribir la fórmula analítica para el ISCO (es un poco complicado) o algún tipo de error numérico. Había comprobado que la fórmula de Abramowicz & Fragile en la revisión viva es correcta.

Potencial efectivo para la geometría de Kerr

Ricardo

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Ricardo

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