Los productos triples son isomorfos

Question

Los productos triples son isomorfos

Matemáticas
teoría de categorías
persiguiendo diagramas
prueba alternativa

Alejandro Heyes

Actualmente estoy trabajando en la Introducción a la teoría de categorías de Awodey y estoy aprendiendo a moverme por diagramas complicados.

quiero mostrar eso $A\times(B\times C)\cong(A\times B)\times C$ ; pero quiero hacerlo de manera bastante explícita, preferiblemente construyendo el isomorfismo. Esto es para que comprenda las diferentes técnicas involucradas en el movimiento de tales diagramas y cómo usar mejor las propiedades de mapeo universal. De alguna manera, ¡preferiría una prueba menos elegante!

Detalles y funcionamiento:

Estoy usando la definición de Awodey para productos a través de la propiedad de mapeo universal:

Un producto $A\times B$ es un objeto con dos flechas $p_A:A\times B\rightarrow A$ (y lo mismo para $p_B$ ) tal que, dado cualquier otro objeto $X$ con un par de flechas $x_A:X\rightarrow A$ (y de manera similar $x_B$ ), existe una única flecha $u:X\rightarrow A\times B$ tal que el diagrama obvio conmuta ( $p_A\circ u=x_A$ y de manera similar $p_B$ ).

Hasta ahora he construido varias flechas únicas

F : A \times (B \times C) \to A \times B

$f:A\times(B\times C)\rightarrow A\times B$

gramo : (A \times B) \times C \to B \times C

$g:(A\times B)\times C\rightarrow B\times C$ que hacen que el siguiente diagrama conmute de la siguiente manera:

a F = α b F = β d

$af=\alpha\qquad bf=\beta\delta$

γ gramo = C β gramo = b d

$\gamma g=c\qquad \beta g=bd$

ingrese la descripción de la imagen aquí

Luego usando $f, g$ , yo construyo

i : A \times (B \times C) \to (A \times B) \times C

$i:A\times (B\times C)\rightarrow (A\times B)\times C$

j : (A \times B) \times C \to A \times (B \times C)

$j:(A\times B)\times C\rightarrow A\times (B\times C)$ satisfactorio

d i = F C i = γ d

$di=f\qquad ci=\gamma\delta$

d j = gramo α j = a d

$\delta j=g\qquad \alpha j=ad$

Estos deberían ser los iso requeridos, pero parece que no puedo probar que tienen que ser inversas izquierda y derecha. Por ejemplo, he mostrado

α j i = a d i = a F = α

$\alpha ji=adi=af=\alpha$

Sé que si puedo mostrar

d j i = d

$\delta ji=\delta$ entonces por la unicidad de

1_{(A \times B) \times C}

$1_{(A\times B)\times C}$ como el único mapa que debería satisfacer esas dos relaciones,

j i = 1_{(A \times B) \times C}

$ji=1_{(A\times B)\times C}$ pero parece que no puedo llegar allí!

Yuan Qiaochu

Usa el lema de Yoneda. Estos dos productos tienen la misma propiedad universal: una aplicación en cualquiera de ellos es lo mismo que un triple de una aplicación en

A

$A$ , un mapa en

B

$B$ , y un mapa en

C

$C$ .

Alejandro Heyes

Me temo que todavía no estoy en un nivel para entender (la versión de Wikipedia de) ese lema, por lo tanto, esperaba una solución más de 'fuerza bruta'.

rober arthan

No veo la relevancia del lema de Yoneda aquí, pero el resto del comentario de Qiacho Yuan capta la esencia de la respuesta: después de barajar algunos corchetes

A \times B \times C

$A \times B \times C$ ,

(A \times B) \times C

$(A \times B) \times C$ y

A \times (B \times C)

$A\times (B \times C)$ se caracterizan esencialmente por la misma propiedad universal.

Alejandro Heyes

Correcto, creo que Awodey también lo menciona. No tengo claro el papel de

A \times B \tiems C

$A\times B\tiems C$ - ¿Lo definimos como uno de estos, lo definimos como algo propio, y si es así, necesitamos asumir su existencia por encima de la existencia de los otros dos productos?

Alejandro Heyes

Si está dispuesto a trabajar en cómo mostrar eso explícitamente, realmente lo agradecería como respuesta @Rob Arthan

Respuestas (1)

Los productos triples son isomorfos

Usa el lema de Yoneda. Estos dos productos tienen la misma propiedad universal: una aplicación en cualquiera de ellos es lo mismo que un triple de una aplicación en $A$ , un mapa en $B$ , y un mapa en $C$ .
Me temo que todavía no estoy en un nivel para entender (la versión de Wikipedia de) ese lema, por lo tanto, esperaba una solución más de 'fuerza bruta'.
No veo la relevancia del lema de Yoneda aquí, pero el resto del comentario de Qiacho Yuan capta la esencia de la respuesta: después de barajar algunos corchetes $A \times B \times C$ , $(A \times B) \times C$ y $A\times (B \times C)$ se caracterizan esencialmente por la misma propiedad universal.
Correcto, creo que Awodey también lo menciona. No tengo claro el papel de $A\times B\tiems C$ - ¿Lo definimos como uno de estos, lo definimos como algo propio, y si es así, necesitamos asumir su existencia por encima de la existencia de los otros dos productos?
Si está dispuesto a trabajar en cómo mostrar eso explícitamente, realmente lo agradecería como respuesta @Rob Arthan
Para completar su prueba: A través de la propiedad universal del producto $(B\times C, \beta,\gamma)$ para mostrar que $\delta ji=\delta$ es suficiente demostrar que $\beta \delta ji=\beta \delta$ y $\gamma \delta ji=\gamma \delta$ .

usuario54748 · Answer 1

Ciertamente puede construir una prueba directa, como lo intentó, pero creo que la forma más sencilla de mostrarla es esta:

Defina qué es un producto de 3 (o $n$ , o $κ$ ) objetos es. Esta es solo una generalización menor del caso binario. Para ser explícitos, escribamos los datos de un producto de $A$ , $B$ , $C$ como $(A × B × C, (p_A, p_B, p_C))$ .
Demostrar que para dos productos cualesquiera $(P, (p_A, p_B, p_C))$ y $(Q, (q_A, q_B, q_C))$ de $A$ , $B$ y $C$ , $P$ y $Q$ debe ser isomorfo. Como beneficio adicional, no olvide que, de hecho, existe un isomorfismo único $f : P → Q$ que conmuta con los mapas de proyección, es decir. $q_Af = p_A$ etc. Esto se hace mejor notando que $(A × B × C, (p_A, p_B, p_C))$ es el objeto terminal en una categoría apropiada.
Si $(A × B, (p_A, p_B))$ es un producto de $A$ y $B$ , y $((A × B) × C, (q, q_C))$ de $A × B$ y $C$ , muestra esa $((A × B) × C, (qp_A, qp_B, q_C))$ es un producto de $A$ , $B$ y $C$ , es decir. que satisface su propiedad universal. Ahora, obviamente, se puede hacer lo mismo para $A × (B × C)$ , por lo que por la parte anterior, tenemos $A × (B × C) ≅ (A × B) × C$ . Y de nuevo, no olvides que también tienes singularidad en el sentido apropiado.

Una prueba más corta mueve todo a $\mathrm{Set}$ , donde el isomorfismo es obvio. Para hacerlo correctamente, necesita el lema de Yoneda, pero para obtener la esencia, solo necesita verificar eso para cada objeto $X$ , $\mathrm{Hom}(X, A × B) ≅ \mathrm{Hom}(X, A) × \mathrm{Hom}(X, B)$ -- esto es solo una reafirmación (muy útil por cierto) de la propiedad universal. De todos modos, aquí está la prueba:

\begin{aligned} H o metro (X, (A \times B) \times C)) & ≅ H o metro (X, A \times B) \times H o metro (X, C) \\ ≅ (H o metro (X, A) \times H o metro (X, B)) \times H o metro (X, C) \\ ≅ H o metro (X, A) \times (H o metro (X, B) \times H o metro (X, C)) \\ ≅ H o metro (X, A) \times H o metro (X, B \times C) \\ ≅ H o metro (X, A \times (B \times C)) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{Hom}(X, (A × B) × C)) &≅ \mathrm{Hom}(X, A × B) × \mathrm{Hom}(X, C) \\ &≅ (\mathrm{Hom}(X, A) × \mathrm{Hom}(X, B)) × \mathrm{Hom}(X, C) \\ &≅ \mathrm{Hom}(X, A) × (\mathrm{Hom}(X, B) × \mathrm{Hom}(X, C)) \\ &≅ \mathrm{Hom}(X, A) × \mathrm{Hom}(X, B × C) \\ &≅ \mathrm{Hom}(X, A × (B × C)) \end{align}$ naturalmente en X, entonces por el lema de Yoneda,

(A \times B) \times C ≅ A \times (B \times C)

$(A × B) × C ≅ A × (B × C)$ .

¡Muchas gracias, esta es una respuesta realmente completa! Anoche me di cuenta de que cualquier intento de salvar mi prueba tenía que pasar por algo equivalente a mostrar $A\times(B\times C)$ satisfizo la UMP por $A\times B\times C(p_A, p_B, p_C))$ de todos modos. ¡Gracias también por darme un vistazo a cómo aplicar el Yoneda Lemma! Muy interesante, con muchas ganas de aprender estas técnicas.

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Alejandro Heyes

Yuan Qiaochu

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Respuestas (1)

usuario54748

Alejandro Heyes

a×1≅aa×1≅aa \times \mathbf 1 \cong a en categorías que admiten productos y tienen un objeto terminal 11\mathbf 1

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