¿Los objetos más pesados ​​en realidad no caen más rápido porque ejercen su propia gravedad?

Usando su definición de "caer", los objetos más pesados ​​caen más rápido, y aquí hay una forma de justificarlo: considere la situación en el marco de referencia del centro de masa del sistema de dos cuerpos (CM de la Tierra y lo que sea). caer sobre él, por ejemplo). Cada objeto ejerce una fuerza sobre el otro de

dónde$r = x_2 - x_1$(asumiendo$x_2 > x_1$) es la distancia de separación. Así que para el objeto 1, tienes

y para el objeto 2,

Como el objeto 2 está a la derecha, se tira hacia la izquierda, en dirección negativa. Cancelando los factores comunes y sumándolos, se obtiene

Entonces, está claro que cuando la masa total es mayor, la magnitud de la aceleración es mayor, lo que significa que los objetos tardarán menos en unirse. Si quieres ver esto matemáticamente, multiplica ambos lados de la ecuación por$\dot{r}\mathrm{d}t$Llegar

e integrar,

Asumiendo$\dot{r}_i = 0$(los objetos comienzan desde un reposo relativo), puede reorganizar esto para

donde he elegido la raíz cuadrada negativa porque$\dot{r} < 0$, e integrarlo de nuevo para encontrar

dónde$r_f$es la distancia de separación final de centro a centro. Darse cuenta de$t$es inversamente proporcional a la masa total, por lo que una mayor masa se traduce en un menor tiempo de colisión.

En el caso de algo como la Tierra y una bola de boliche, una de las masas es mucho más grande,$m_1 \gg m_2$. Entonces puedes aproximar la dependencia de masa de$t$utilizando una serie de Taylor,

El término principal es completamente independiente de$m_2$(masa de la bola de boliche o lo que sea), y es por eso que podemos decir, con una aproximación de orden principal, que todos los objetos caen a la misma velocidad sobre la superficie de la Tierra. Para los objetos típicos que pueden caer, el primer término de corrección tiene una magnitud de unos pocos kilogramos divididos por la masa de la Tierra, lo que da como resultado$10^{-24}$. Por lo tanto, la imprecisión introducida al ignorar el movimiento de la Tierra es aproximadamente una parte en un billón de billones, mucho más allá de la sensibilidad de cualquier dispositivo de medición que existe (o incluso se puede imaginar) en la actualidad.

Marcos de referencia inerciales

La paradoja aparece porque el "marco de reposo" de la Tierra no es un marco de referencia inercial, se está acelerando. Manténgase en el marco de referencia CM (centro de masa) y, al menos para dos cuerpos, no hay paradoja. Dada una Tierra de masa$M$, un cuerpo de masa$m_i$caerá hacia el centro de masa$x_\textrm{CM}=(M x_M + m_i x_i)/(M+m_i)$con una aceleración$GM/(x_i-x_M)^2$. Tenga en cuenta que$\ddot x_\textrm{CM}=0$

Realmente solo hemos ocultado la paradoja, porque claro$x_\textrm{CM}$es diferente para cada uno$m_i$. Pero este es un primer paso para formular el problema en un marco inercial decente.

La paradoja resurge

La paradoja vuelve a resurgir si quieres deshacerte de$(x_i-x_M)$. En la mayoría de las aplicaciones, ahora que está en un sistema de referencia que no acelera, desea considerar las distancias relacionadas con él, es decir,$x_i-X_\textrm{CM}$. La solución es redefinir la masa. Como$x_i-x_\textrm{CM} = M (x_i - x_M) /(M+m_i)$, podemos decir que el objeto$i$cae en el centro de masa con una aceleración$G{M^3 \over (M+m_ i)^2}{1 \over (x_i-x_\textrm{CM})^2}$Se podría decir que la masa real de la "tierra en el centro de masa" es esta corrección.

Masa reducida del sistema

Una vez que te hayas metido en el truco de cambiar el valor de la masa, aún puedes ceñirte al marco de referencia de la tierra. En este marco de referencia, el cociente entre la fuerza y ​​la aceleración es$Mm_i/M+m_i$. Puede afirmar que esta es la masa real del cuerpo durante el cálculo. A esto se le llama masa reducida. $m_r$del sistema, y ​​puede ver que para pequeños$m_i$, es casi igual a$m_i$sí mismo. Incluso puedes escribir algunas de las fórmulas anteriores usando la masa reducida$m_r$en combinación con las masas originales, por ejemplo las anteriores${M^3 \over (M+m_ i)^2} = M {m_r^2\over m^2}$, pero no estoy seguro de lo útil que es. En cualquier caso, ves que tenías razón en lo de "más pesado implica más rápido" pero que está perfectamente gestionado.

tres objetos

Para tres objetos,$m_1$y$m_2$cayendo en$M$, la pregunta es cómo comparar el caso con$m_1+m_2$cayendo en$M$. Separas las fuerzas entre internas, entre 1 y 2, y externas, contra$M$. mira el punto$x_0= {m_1 x_1 + m_2 x_2 \over m_1+m_2}$. Este punto no es acelerado por las fuerzas internas. Y las fuerzas externas los mueven como

La respuesta TLDR

Esto se está haciendo largo...

¡No puedo poner todos los Principia en una sola respuesta!

Entonces puede olvidar todo lo anterior, considerando que solo es un medio para corregir la notación y obtener algo de práctica, y lea la respuesta :

si los dos cuerpos estan a la misma distancia$x$de la tierra "externa", sufren la misma aceleración externa$g=GM/(x-x_M)^2$, y lo mismo sucede con$x_0$. Si ambos cuerpos están en una aproximación donde$g$puede considerarse constante, que fue el caso originalmente considerado por Galileo (y el moderno$g=9.8~{\rm m/s^2}$), entonces tienen la misma aceleración—y también la posición combinada$x_0$. Si no están a la misma distancia ni en una aproximación de un campo constante igual en todas partes, aún puede guardar el movimiento de$x_0$trabajar como si fuera una fuerza gravitacional para una sola masa$m_T$, pero entonces la manipulación de las ecuaciones producirá en las posiciones relativas de$x_1$y$x_2$algunas aceleraciones del orden de$1/(x_0-x_M)^3$. Tales fuerzas son las " fuerzas de marea ".

Además de las respuestas ya dadas, esto también podría ser de interés:

Cuando el martillo y la pluma se dejan caer simultáneamente, llegan al mismo tiempo, cuando se dejan caer de forma independiente, el martillo atrae al planeta más que la pluma, por lo que tiene razón, el tiempo total hasta el impacto es menor para el martillo.

Si levantas el martillo y lo dejas caer al suelo mientras la pluma yace en el suelo y su masa se suma a la masa del planeta (despreciando las heterogeneidades de la desidad), toma el mismo tiempo que cuando levantas la pluma y la dejas caer. mientras que el martillo está en el suelo y su masa se suma a la del planeta, ya que m1+m2+m3=constante.

Cuando dejas caer el martillo y la pluma simultáneamente, la pluma recorrerá la distancia más larga en el mismo tiempo y, por lo tanto, es más rápida que el martillo, ya que el planeta se mueve más hacia el martillo que hacia la pluma, y ​​la pluma es atraída por el más grande. suma de masas.

La distancia inicial de las masas puntuales es de 1 metro; en el primer ejemplo tienes 1000kg vs 100kg vs 1kg y en el segundo 1000kg vs 666.̇6kg vs 500kg. Como podéis ver el "martillo" y la "pluma" llegan al mismo tiempo:

La respuesta es sí: en principio existe tal efecto. Cuando la masa del objeto arrojado es pequeña en comparación con la masa del planeta, el efecto es muy pequeño, por supuesto, pero en principio está ahí.

Estoy de acuerdo. Mi entendimiento es el mismo también.

Suponiendo que la tierra, marte y la luna son del mismo tamaño - si la tierra y marte estuvieran suspendidos en el espacio (marte cayendo sobre la tierra), entrarían en contacto más rápido que - si la tierra y la luna estuvieran suspendidos en el espacio (luna cayendo sobre la tierra) debido al hecho de que marte haría que la tierra acelerara hacia él más que la luna. Esto siempre que la distancia entre los dos objetos sea la misma inicialmente. La tierra atraería a ambos al mismo ritmo para cualquier distancia dada.

También publiqué aquí sobre qué caería primero en caso de que tres objetos estuvieran involucrados, preguntando si mi comprensión es correcta. Es el clásico experimento de plumas de manzana revisitado. Espero que aclare la pregunta anterior de @KeithThompson .

Descargo de responsabilidad

No soy físico, soy "solo" un ingeniero.

No estoy seguro de si eso cuenta como una respuesta, pero al menos uso algunos garabatos :).

Representaría la situación (unidimensional) así:

• hay dos objetos$m_1$y$m_2$con masa El punto en el medio es el centro de masa de cada objeto.
• La distancia entre los centros de masa se denota como$r$.
• También hay un marco de referencia que no está acelerado en absoluto (el llamado marco de referencia inercial ).
• Las dos masas se atraen entre sí por la fuerza$F$que se describe por la ley de gravitación universal de Newton .

La aceleración absoluta de cada objeto.$\ddot{x}_1$y$\ddot{x}_2$se puede formular como:

• $\ddot{x}_1$y$\ddot{x}_2$se miden contra el marco de referencia inercial.
• La aceleración es proporcional ($\sim$) a la masa del índice opuesto ($1\to2$y$2\to1$).
• La aceleración de cierre$a_{closing}$(o aceleración de aproximación entre sí), sin embargo, es proporcional a la suma de$m_1$y$m_2$.

Sí, un objeto pesado que se deje caer desde la misma altura caerá más rápido que uno más liviano. Esto es cierto en el marco de reposo de cualquier objeto. Puedes ver esto desde$F=GmM/r^2=m\cdot a=m\cdot d^2r/dt^2$.

Sin embargo, el objeto que "cae" más rápido (ya que estamos redefiniendo la caída) es un fotón, que no tiene masa.

El tiempo de caída libre de dos masas puntuales es$t = \frac{\pi}{2} \sqrt{ \frac{r^3}{2 G(m1+m2)}}$.

El tiempo de caída libre depende de la suma de las dos masas. Para una masa total dada, el tiempo de caída libre es independiente de la relación de las dos masas. El tiempo de caída libre es el mismo ya sea que m ₁ = m ₂ o m ₁ >> m ₂ .

Cuando se levanta un cuerpo hasta cierta altura y luego se deja caer, el tiempo de caída a la Tierra no depende de la masa del objeto. Si levantas una pelota de ping-pong y luego la dejas caer, tardará el mismo tiempo en caer a la Tierra que una pelota de boliche. Dividir la Tierra en dos masas no cambia la suma de esas masas ni el tiempo de caída libre.

Sin embargo, cuando un cuerpo externo se lleva a cierta altura sobre la Tierra y luego se deja caer, el tiempo de caída libre depende de la masa del cuerpo externo. Porque la suma de la Tierra y el cuerpo externo obviamente depende de la masa del cuerpo externo.

"La mayoría de los cuerpos caen a la misma velocidad en la Tierra, en relación con la Tierra, porque la masa M de la Tierra es extremadamente grande en comparación con la masa m de la mayoría de los cuerpos que caen. El cuerpo y la Tierra caen cada uno hacia su centro de masa común, que para en la mayoría de los casos es aproximadamente igual que en relación con la Tierra. En principio, los resultados de un experimento de caída libre dependen de si las masas que caen se originan en la Tierra, son extraterrestres , son secuenciales o concurrentes, o son simultáneas para cuerpos coincidentes o separados, etc. Cuando los cuerpos que caen se originan en la tierra, todos los cuerpos caen a la misma velocidad en relación con la tierra porque la suma m + M permanece constante.
-- ArXiv: Elementos disuasorios de una teoría de la gravedad cuántica

Suposiciones:
La Tierra está aislada (no hay luna, sol, etc.).
La Tierra no gira.
La Tierra no tiene atmósfera. (Un globo aerostático caería hacia arriba porque es menos denso que la atmósfera que desplaza).

Deja caer una barra de hierro de 5 libras y una barra de hierro de 25 libras simultáneamente. Golpearán el suelo simultáneamente. La única advertencia posible es el efecto de retroceso que Ted Bunn menciona arriba.

Mantengámoslo simple. Abriendo mi libro de texto de 1964, "Physics, 4th ed", Hausmann & Slack, Nostrum Co., NY, 1957. Cuando estamos contemplando las leyes de los objetos cotidianos en caída libre cerca de la superficie de la tierra (nuestro único marco de referencia) , todas las demás fuerzas eliminadas o neutralizadas, estamos en el ámbito de la física newtoniana.

F = G(Mm)/r^2; donde G es la constante gravitacional, M es la masa de la tierra, m es la masa de nuestro objeto y r es el radio de la tierra.

Por definición, cuando está en reposo sobre la superficie de la tierra, el peso, W, del objeto es la fuerza repulsiva en la ecuación F = ma, y ​​a = g, la aceleración debida a la gravedad. Por lo tanto, W = mg y g = W/m. Sustituyendo en nuestra ecuación de gravedad general entre dos objetos, tenemos:

W = G(Mm)/r^2, por lo tanto W/m = GM/r^2

Por lo tanto, W/m es una constante. Por lo tanto, un objeto caerá con la misma aceleración sin importar la masa cerca de la superficie de la tierra.

Me había preocupado allí por un momento :)

Una explicación simple es que se necesita más FUERZA para ACELERAR un objeto de mayor MASA. A=F/M....o con FUERZA constante, la ACELERACIÓN es inversamente proporcional a la MASA. El es el resultado de la inercia.

Una masa más grande que se deja caer (sobre un objeto masivo) requiere una fuerza MAYOR para acelerar; además una MAYOR masa ejerce una MAYOR fuerza gravitacional.

Establecer la segunda ley de Newton en la ley de la fuerza gravitatoria cancela la masa y, por lo tanto, hace que la MASA no esté relacionada con la ACELERACIÓN de dos objetos relacionados gravitacionalmente.