¿Cae un poste vertical largo a una velocidad diferente que un poste vertical corto?

Question

¿Cae un poste vertical largo a una velocidad diferente que un poste vertical corto?

tonto

La fórmula para un objeto que cae tiene $r^2$ en el denominador. Esto significaría que un objeto que está más alto cae más lentamente que el estándar $9.807\ \mathrm{m/s^2}$ que nos enseñan en la escuela secundaria.

¿Qué pasaría si tomáramos en $1$ poste de metro y un $10$ poste de metro hasta una altura de $100$ metros para la parte inferior de ambos postes, y luego los dejó caer? Supongamos que tienen un peso en la parte inferior para que ambos permanezcan verticales y que el $10$ el poste del metro está hueco, por lo que ambos pesan lo mismo. ¿Llegarían al suelo simultáneamente o de otra manera?

fraxino

¿Se ha despreciado o no la resistencia del aire?

tonto

@fraxinus No se considera la resistencia del aire. Gravedad puramente newtoniana. No necesitaba indicar el peso, pero SÓLO quería que se considerara la longitud del bastón.

prensatelas ross

El efecto al que te refieres se llama "marea".

PC Man

¿Se supone que la resistencia del aire no es relevante, ya que el objeto más largo tendría más resistencia del aire sobre un área de superficie mucho mayor? También se supone que se debe despreciar la flotabilidad del aire, ya que, de lo contrario, el objeto más grande pesaría menos aunque tuviera la misma masa. Llevado al extremo, ¡el segundo objeto podría volar como un globo de hidrógeno! Y su declaración de "Ponderado en la parte inferior" realmente enturbia la situación al cambiar la distribución de masa del polo más largo. ¿Es su centro de masa más alto o más bajo que el del polo más corto? ¡No lo sabemos!

PC Man

Buena idea para una pregunta, pero expresada usando términos muy confusos. Debe indicar explícitamente el entorno inicial. No debe meterse con la distribución de masa de los polos, o si desea hacerlo, indique exactamente lo que se está haciendo. "Pesar un extremo" no hará nada en la orientación del poste en ausencia de resistencia del aire, y es una complicación innecesaria no cuantificada.

Yakk

Quiero decir, podemos asumir un modelo de la tierra que es un plano infinito con gravedad uniforme sobre él. Entonces el

r^{2}

$r^2$ en el denominador desaparece. walter.bislins.ch/bloge/… ;)

Respuestas (7)

¿Cae un poste vertical largo a una velocidad diferente que un poste vertical corto?

@fraxinus No se considera la resistencia del aire. Gravedad puramente newtoniana. No necesitaba indicar el peso, pero SÓLO quería que se considerara la longitud del bastón.
¿Se supone que la resistencia del aire no es relevante, ya que el objeto más largo tendría más resistencia del aire sobre un área de superficie mucho mayor? También se supone que se debe despreciar la flotabilidad del aire, ya que, de lo contrario, el objeto más grande pesaría menos aunque tuviera la misma masa. Llevado al extremo, ¡el segundo objeto podría volar como un globo de hidrógeno! Y su declaración de "Ponderado en la parte inferior" realmente enturbia la situación al cambiar la distribución de masa del polo más largo. ¿Es su centro de masa más alto o más bajo que el del polo más corto? ¡No lo sabemos!
Buena idea para una pregunta, pero expresada usando términos muy confusos. Debe indicar explícitamente el entorno inicial. No debe meterse con la distribución de masa de los polos, o si desea hacerlo, indique exactamente lo que se está haciendo. "Pesar un extremo" no hará nada en la orientación del poste en ausencia de resistencia del aire, y es una complicación innecesaria no cuantificada.
Quiero decir, podemos asumir un modelo de la tierra que es un plano infinito con gravedad uniforme sobre él. Entonces el $r^2$ en el denominador desaparece. walter.bislins.ch/bloge/… ;)

Campeón 2012 · Answer 1

Paul T. proporciona una buena respuesta con respecto al caso en que la altura de la parte inferior de los postes es la misma (que es lo que se solicitó en la pregunta). La principal diferencia en ese caso se debe a las diferentes alturas de los centros de masa de las dos barras.

Sin embargo, podría preguntarse, ¿y si los centros de masa de las dos varillas estuvieran a la misma altura, aún habría una diferencia? Resulta que los habrá, aunque la diferencia es aún menor.

Dejar $m$ y $l$ ser la masa y la longitud de una barra vertical de densidad uniforme, y $r$ la altura de su centro desde el centro del planeta. La masa del planeta es $M$ . Considere una pequeña pieza de la barra, de masa $\delta m$ y distancia $x$ desde el centro de la varilla (así que $x$ está entre $-l/2$ y $+l/2$ ). La fuerza de gravedad sobre la pequeña pieza es:

d F = \frac{GRAMO METRO d metro}{(r + X)^{2}}

$\delta F=\frac{GM\delta m}{(r+x)^2}$

La fuerza total sobre la barra es la integral de $\delta F$ sobre toda la masa:

F = \int \frac{GRAMO METRO}{(r + X)^{2}} d metro

$F=\int\frac{GM}{(r+x)^2}dm$

La masa de la pieza pequeña es proporcional a su longitud ( $m/l=\delta m/\delta x$ ) para que podamos sustituir $dx$ para $dm$ con la escala adecuada:

F = \int_{- yo / 2}^{+ yo / 2} \frac{GRAMO METRO}{(r + X)^{2}} (\frac{metro}{yo} d X)

$F=\int_{-l/2}^{+l/2}\frac{GM}{(r+x)^2}\left(\frac{m}{l}dx\right)$

Haciendo la integral se obtiene:

\begin{aligned} F & = - \frac{GRAMO METRO metro}{yo} {\frac{1}{r + X} |}_{X = - yo / 2}^{+ yo / 2} \\ = - \frac{GRAMO METRO metro}{yo} (\frac{1}{r + yo / 2} - \frac{1}{r - yo / 2}) \\ = - \frac{GRAMO METRO metro}{yo} (\frac{(r - yo / 2) - (r + yo / 2)}{(r + yo / 2) (r - yo / 2)}) \\ = - \frac{GRAMO METRO metro}{yo} (\frac{- yo}{r^{2} - (yo / 2)^{2}}) \\ = \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2} - (yo / 2)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} F&=-\frac{GMm}{l}\left.\frac{1}{r+x}\right|_{x=-l/2}^{+l/2} \\ &=-\frac{GMm}{l}\left(\frac{1}{r+l/2}-\frac{1}{r-l/2}\right) \\ &=-\frac{GMm}{l}\left(\frac{(r-l/2)-(r+l/2)}{(r+l/2)(r-l/2)}\right) \\ &=-\frac{GMm}{l}\left(\frac{-l}{r^2-(l/2)^2}\right) \\ &= \frac{GMm}{r^2-(l/2)^2} \end{align}$

Este es casi el mismo valor que si la masa de la barra estuviera concentrada en su centro (en cuyo caso sería simplemente $GMm/r^2$ ). Como Paul T., veamos la diferencia relativa:

\frac{\frac{GRAMO METRO metro}{r^{2} - (yo / 2)^{2}} - \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}}}{\frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}}} = \frac{(r^{2}) - (r^{2} - (yo / 2)^{2})}{r^{2} - (yo / 2)^{2}} = \frac{(yo / 2)^{2}}{r^{2} - (yo / 2)^{2}} \approx {(\frac{yo}{2 r})}^{2}

$\frac{\frac{GMm}{r^2-(l/2)^2}-\frac{GMm}{r^2}}{\frac{GMm}{r^2}} = \frac{(r^2)-(r^2-(l/2)^2)}{r^2-(l/2)^2} = \frac{(l/2)^2}{r^2-(l/2)^2} \approx \left(\frac{l}{2r}\right)^2$

Compare esto con el caso donde medimos $r$ desde el extremo del poste, donde la diferencia relativa (entre una varilla y un punto) era solo $l/r$ . Si el caso final tuviera una diferencia de una parte por millón, ¡el caso central tendrá una diferencia de menos de una parte por billón!

Me preguntaba cuándo alguien iba a responder esto con cálculo porque, de hecho, esta es una pregunta de cálculo. Bien hecho ;)

pablo t · Answer 2

Sí. Como se describe en las preguntas, hay una diferencia muy pequeña entre la aceleración de los dos polos y el más corto acelera más rápido.

La diferencia

La fuerza gravitatoria que actúa sobre un polo es

F = \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}},

$F = \frac{GMm}{r^2},$ dónde

M

$M$ es la masa de la tierra,

m

$m$ es la masa del poste, y

r

$r$ es la separación entre el centro de masa (CoM) de la Tierra y el CoM del polo. Despreciando la resistencia del aire y el efecto gravitatorio de un polo sobre el otro, la aceleración de un polo es

a = F / metro = \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} .

$a = F/m = \frac{GM}{r^2}.$ Las masas de los polos no importan. Pueden ser diferentes o iguales.

Si los dos polos tienen longitudes diferentes, $L > \ell$ , entonces sus CoM estarán a diferentes distancias del CoM de la tierra. definamos $R$ como la distancia desde el CoM de la Tierra hasta el fondo de las urnas, que se encuentran a la misma altura. Suponiendo que los polos son uniformes

r_{ℓ} = R + ℓ / 2 y r_{L} = R + L / 2.

$r_\ell = R + \ell/2 \quad\text{and}\quad r_L= R + L/2.$

El polo más corto experimentará una mayor aceleración.

a_{ℓ} = \frac{GRAMO METRO}{(R + ℓ / 2)^{2}} > a_{L} = \frac{GRAMO METRO}{(R + L / 2)^{2}}

$a_\ell = \frac{GM}{(R + \ell/2)^2} \quad > \quad a_L = \frac{GM}{(R + L/2)^2}$

¿Qué tan grande es la diferencia?

Para tener una idea de cuánto más grande, podemos hacer una expansión de primer orden de las dos aceleraciones y observar la diferencia.

a_{L} = \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} = \frac{GRAMO METRO}{(R + L / 2)^{2}} = \frac{GRAMO METRO}{R^{2} (1 + \frac{L}{2 R})^{2}} = \frac{GRAMO METRO}{R^{2}} {(1 + \frac{L}{2 R})}^{- 2} \approx \frac{GRAMO METRO}{R^{2}} (1 - 2 \frac{L}{2 R})

$a_L = \frac{GM}{r^2} = \frac{GM}{(R + L/2)^2} = \frac{GM}{R^2(1+\frac{L}{2R})^2} = \frac{GM}{R^2}\left(1 + \frac{L}{2R}\right)^{-2}\approx \frac{GM}{R^2}\left(1 - 2 \frac{L}{2R}\right)$

yo personalmente encuentro la diferencia fraccionaria $\frac{\Delta a}{a}$ ser más esclarecedor que lo absoluto. Así que veamos eso dividiendo el común $GM/R^2$ poco.

\frac{Δ a}{a} \approx \frac{a_{ℓ} - a_{L}}{GRAMO METRO / R^{2}} \approx (1 - ℓ / R) - (1 - L / R) = \frac{L - ℓ}{R}

$\frac{\Delta a}{a} \approx \frac{a_\ell - a_L}{GM/R^2} \approx (1- \ell/R) - (1-L/R) = \frac{L-\ell}{R}$

El radio de la Tierra es de aproximadamente $6\times 10^6$ m, entonces estamos viendo diferencias de partes por millón en las aceleraciones de los dos polos.

Te voy a hacer una pregunta que te hice arriba. ¿Usamos el centro de gravedad de la tierra y del polo solo por conveniencia matemática, o hay una forma más precisa si hacemos un cálculo derivado en la longitud total de ambos? Sé que es una pregunta extraña, pero estoy tratando de entender exactamente cómo caen las cosas en relación con el espacio-tiempo.
En general, debe integrar sobre las dos distribuciones de masa para calcular la fuerza de cada parte de un cuerpo sobre cada parte del otro. Las cosas esféricamente simétricas actúan como masas puntuales perfectas en sus CoM. La Tierra no es exactamente una esfera, por lo que hay pequeños $\sim\frac{1}{R^4}$ correcciones cuadripolares a la fuerza debidas a su forma. Es posible que desee buscar expansión de masa cuadripolar o multipolar
Si está pensando en la caída y el espacio-tiempo, es posible que desee ver la relatividad general en lugar de la gravedad newtoniana.
"Suponiendo que los postes sean uniformes" es contradictorio con la declaración del OP de que "Supongamos que están ponderados en la parte inferior para que ambos permanezcan verticales" (lo que, por cierto, no funcionaría si no se considera la resistencia del aire)
Si los polos son lo suficientemente largos (realmente largos), incluso podrían flotar sobre la tierra, ¿verdad? Similar a los conceptos de ascensores espaciales.
@EricDuminil No: la gravedad se extiende infinitamente lejos y siempre apunta hacia abajo. No importa lo lejos que estés de la tierra, puedes caer directamente hacia ella solo por la gravedad. Estás hablando de poner cosas en órbita, lo que no tiene nada que ver con una reducción de la gravedad, sino que simplemente se mueve hacia los lados muy rápido. Un ascensor espacial es sostenido por una fuerza centrífuga debido a la velocidad de su órbita, pero aún así es empujado hacia abajo por la gravedad en todo momento; solo está orbitando lo suficientemente rápido para que nunca caiga al suelo. No importa qué tan alto coloques el COM, la gravedad lo empuja hacia abajo .
@foolishmuse: No sería significativamente diferente bajo GR. No he hecho los cálculos, pero esperaría que hubiera correcciones aún más pequeñas del orden de $(L-\ell)^2/R^2$ ; pero eso introduciría una diferencia de partes por millón en la diferencia y, en consecuencia, sería más difícil de detectar.
Sin embargo, esto ignora la velocidad terminal y otras aerodinámicas. Y dado que la masa es igual, esto tiene una gran influencia, ya que el arrastre de la piel es mucho mayor para un objeto más grande. (Aunque la resistencia a la presión sería menor). Dado que el OP indica que el poste tiene un peso en la parte inferior para mantenerlo recto, esto indica que considera las fuerzas aerodinámicas. (De lo contrario, la ponderación no es necesaria).
@ paul23: El OP especificó en un comentario sobre la pregunta original que se debe descuidar la resistencia del aire. Sin embargo, puede haber algo de una contradicción allí.
@ paul23 Para todos los relacionados con el OP, sí, asumo que no hay resistencia del aire. Agregué la nota sobre un peso en la parte inferior solo para que cualquier lector entendiera que los postes permanecen verticales porque esta es la parte clave de la pregunta. Y agregué el poste largo hueco solo para que la masa no fuera una consideración.
Si está descuidando las interacciones con la atmósfera, entonces no necesita una distribución de masa no uniforme para obtener una caída recta. Debería ser suficiente comenzar con polos cilíndricos de densidad uniforme alineados paralelos al vector de gravedad. Sin otras fuerzas actuando sobre los polos, entonces no hay nada que introduzca alguna fuerza tangencial neta.
@JohnBollinger Sí, absolutamente. De hecho, con la espagetificación mencionada en otra parte, la tendencia a permanecer vertical sería muy fuerte. Desafortunadamente, este video youtube.com/watch?v=gcvq1DAM-DE implica fuertemente que un objeto que cae quiere girar en el espacio. Pero en todo esto llegamos a entender que si los polos fueran horizontales, aterrizarían al mismo tiempo, pero al ser verticales, aterrizarían en tiempos diferentes, todo debido al gradiente de dilatación del tiempo.
@NuclearHoagie No estaba hablando de una reducción de la gravedad. Si el poste es tan largo que el centro de masa está en una órbita geoestacionaria: el lado más alejado del poste necesitaría girar muy rápido para que el poste permanezca vertical. Todo el polo estaría en órbita (ignorando la resistencia del aire en el lado más cercano o colocándolo por encima de la atmósfera). Caería, pero siempre extrañaría la tierra. ¿Podría eso funcionar?

Gert · Answer 3

Suponiendo (razonablemente) que ambos objetos son rígidos (no sufren deformación bajo la influencia de la gravedad), entonces en la Ley:

F = GRAMO \frac{metro METRO}{r^{2}}

$F=G\frac{mM}{r^2}$

$r$ se refiere a la distancia entre el centro de gravedad (CdG) del objeto y el CdG de la Tierra.

Luego, asumiendo que los CdG de ambos objetos tienen la misma masa y están a la misma altura sobre la Tierra (al comienzo de su caída libre), el resultado $F$ son iguales.

¿Llegarían al suelo simultáneamente o de otra manera?

En esas circunstancias, lo primero sería cierto.

Probablemente valga la pena mencionar que no será exactamente cierto si sus masas individuales fueran diferentes (y las varillas estuvieran muy separadas entre sí).
@NakshatraGangopadhay Hizo una edición. Sin embargo, sus segundas condiciones me parecen muy implícitas.
La mayoría de los libros enseñan erróneamente que diferentes masas que experimentan la misma aceleración automáticamente implican que alcanzan la superficie de la tierra al mismo tiempo. El problema de esto es que, aunque tengan la misma aceleración, uno de ellos tiene que recorrer una distancia más corta. El objeto más pesado tendrá un centro de masa común con la Tierra, más cerca de sí mismo que el objeto más ligero, y por lo tanto recorrerá una distancia más corta en comparación con el objeto más ligero. Un punto muy sutil, que muchos parecen pasar por alto.
@NakshatraGangopadhay Me parece que la pregunta se hizo en el nivel de la escuela secundaria, donde ese tipo de sutileza aún no se enseña, comprensiblemente.
@Gert Si no me equivoco, los centros de gravedad de dos postes caerán juntos simultáneamente (si están a la misma altura) hasta que la parte inferior del poste más largo toque el suelo (ya que la parte inferior del poste más largo está más cerca del suelo)
La pregunta dice "altura de 100 m para la parte inferior de ambos postes", pero su respuesta dice "suponiendo que los centros de gravedad de ambos objetos estén a la misma altura". Has respondido a una pregunta diferente a la que te han hecho.
@Nakshatra Hay una buena pregunta sobre ese tema, vinculada a continuación, en la sección Relacionada: ¿ Los objetos más pesados en realidad no caen más rápido porque ejercen su propia gravedad? El efecto para los cuerpos pequeños en la Tierra es del orden de 1 parte en 10²⁴.
@NakshatraGangopadhay es realmente un poco pedante llamarlo mal . No solo porque en la práctica el efecto es completamente insignificante para cualquier objeto que puedas levantar, sino también en teoría porque es el movimiento de la Tierra lo que marca la pequeña diferencia. Los objetos aún alcanzarían la superficie al mismo tiempo si la Tierra no se hubiera acercado en ese momento en el caso más pesado.

Andrés Steane · Answer 4

Sí, una aceleración ligeramente diferente a la que han dicho otros, lo que lleva a una llegada un poco más tarde del polo más largo. (Es la ubicación del centro de masa lo que determina la aceleración).

Un efecto relacionado interesante: los polos se tensan debido a la diferente atracción gravitacional en sus dos extremos. El ejemplo extremo de esto es la 'espaguetización' que se predice que sucederá cuando las cosas caigan hacia el centro de un agujero negro.

fraxino · Answer 5

Bien, sin aire. También simplifico los efectos de marea (los polos no son esféricos en ningún sentido). Se supone que la atracción mutua entre los polos, así como el movimiento de la Tierra hacia ellos, es insignificante (no es que cambie la respuesta).

Aparte de eso, el poste de 10 m tiene su centro de masa 4,5 m más alto, por lo que recibe algo menos de gravedad y menos aceleración.

Como ambos postes tienen que recorrer 100 m (la misma distancia), el poste de 10 m llegará más tarde.

Adrián Howard · Answer 6

En gravedad no uniforme, descontando la resistencia del aire, dos objetos cualesquiera que tengan diferentes alturas para sus centros de gravedad serán acelerados por la gravedad a diferentes velocidades. Como parece entender, el aumento del radio al centro de gravedad daría una menor tasa de aceleración inicial al objeto más alto.

El centro de gravedad. Eso tiene perfecto sentido. ¿Estás seguro de esto en comparación con la altura de la parte superior del poste? ¿O el centro de gravedad solo se usa por simplicidad matemática?
Supongo que eso también plantearía la pregunta: ¿el centro de la tierra solo se usa por simplicidad matemática?
El COG es el punto de equilibrio gravitacional de los objetos. En una gravedad no uniforme, el COG será ligeramente diferente de su COM.

turba fitzpatrick · Answer 7

En realidad, la pregunta es un poco vaga. Cuando lo leí, pensé que significaba como un árbol, o un poste de telégrafo, o una de esas viejas chimeneas muy altas que se derrumba. En cuyo caso estamos calculando el tiempo que tarda en caer un cilindro alto y delgado. Cuanto más alto sea, más tardará en caer aunque en la vida real tendríamos que lidiar con que el cilindro se rompa o se deforme. La mayoría de las respuestas aquí se centran en dejar caer un cilindro vertical y lo han respondido a fondo. También existe la posibilidad de que el cilindro (poste) se sostenga horizontalmente antes de dejarlo caer, en cuyo caso la longitud no sería relevante. Espero que eso haya enturbiado un poco las aguas...

Proporcione detalles adicionales en su respuesta. Tal como está escrito actualmente, es difícil entender su solución.

¿Cae un poste vertical largo a una velocidad diferente que un poste vertical corto?

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