¿Los hom-sets realmente viven en la categoría Set?

En libros introductorios familiares sobre la teoría de categorías, uno de los primeros ejemplos de una categoría dada es Conjunto . y que categoria es esa?

Por lo general, no se da ninguna explicación en esta etapa. Pero, por supuesto, con qué categoría estamos tratando depende de nuestra teoría de conjuntos. Para un NF-iste, la categoría de NFsets tiene propiedades muy diferentes de la categoría habitual Set (para empezar, NFsets no es cerrado cartesiano). Pero es justo, en un libro de introducción no vas a mencionar eso en el cap. 1! La lectura caritativa es que los autores confían en que sus lectores piensen que Set comprende los conjuntos que ya conocen y aman de su curso estándar de introducción a la teoría de conjuntos. Que son conjuntos puros de la jerarquía acumulativa, puros en el sentido de que no hay urlementos, ni entidades sin miembros en el universo de conjuntos que no sean los conjuntos vacíos.

De acuerdo, entonces: en ausencia de señales explícitas especiales en contrario, parece que podríamos tomar razonablemente a Set como una categoría de conjuntos puros de la jerarquía habitual. ¿Qué otra cosa?

Pero entonces, ¿qué vamos a hacer con, por ejemplo, la presentación habitual de la incrustación de Yoneda como$\mathcal{Y}\colon \mathscr{C} \to [\mathscr{C}^{op}, \mathbf{Set}]$. Poniéndolo de esta manera asume que hom-colecciones$\mathscr{C}(A, B)$para$A, B \in \mathscr{C}$en realidad vivir en$\mathbf{Set}$. Y dado que tal colección de hom- bres es un conjunto de$\mathscr{C}$-flechas, eso supone que el$\mathscr{C}$-las flechas también deben vivir en el mundo de los conjuntos puros. [Es posible que queramos que las colecciones hom relevantes tengan el tamaño de un set en el estuche de incrustación de Yoneda, ¡pero no ser más grandes que el tamaño de un set es una cosa, vivir en el universo de los sets puros es otra cosa!]

Pero, ¿realmente queremos suponer que las flechas son siempre conjuntos puros? ¿No se supone que la teoría de categorías es una historia acerca de cómo las diferentes partes del universo matemático se unen, lo que no presupone un reduccionismo de teoría de conjuntos general, integral y, por lo tanto, en particular, no presupone que todos los morfismos son conjuntos puros??

Ahora, las secciones fundamentales que a menudo se encuentran al principio de la teoría de categorías a menudo se preocupan por cuestiones de tamaño (conjuntos frente a clases, etc.). Pero la preocupación presente es ortogonal a todo eso, y es en cierto modo más básica. Si pensamos en los habitantes de diferentes partes del universo matemático (diferentes categorías) como sui generis, por lo que las flechas en, por ejemplo, una categoría poset o el monoide libre en un generador son diferentes tipos de bestias a conjuntos puros, entonces una colección correspondiente de flechas (hom-set) seguramente no puede ser considerado como perteneciente a$\mathbf{Set}$(en oposición, tal vez, a ser completamente mapeable fielmente en ese mundo).

Supongo que debe haber buenas discusiones sobre este tipo de cosas en la literatura en alguna parte, ¡y sin duda estoy mostrando mi ignorancia al preguntar dónde! Pero, por favor, cualquier sugerencia será recibida con mucho agradecimiento.

(Publicación cruzada en MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/194551/do-hom-sets-really-live-in-the-category-set )