Una identidad de matrices de Pauli

Sí. Esta relación de conmutación es la del álgebra de Lie$\mathfrak{so}(3)$correspondiente al grupo de rotación en tres dimensiones. Así, la relación de conmutación establece que las matrices de Pauli generan rotaciones.

Para entender por qué esta es la relación de conmutación de$\mathfrak{so}(3)$, se puede dibujar un diagrama que muestre que el conmutador de dos rotaciones infinitesimales es una rotación infinitesimal alrededor del eje perpendicular. Por supuesto, también es posible razonar sin la imagen. Para resolver eso, necesitas que el efecto de una rotación infinitesimal alrededor$\mathbf n$en$\mathbf v$es

$$\mathbf v \mapsto \mathbf v + \varepsilon \mathbf n \times \mathbf v.$$

Solo para aclarar la respuesta de Robin Ekman , las superposiciones de las matrices de Pauli se exponen a$SU(2)$, no$SO(3)$, pero ambos grupos de Lie tienen$\mathfrak{so}(3)$como su álgebra de Lie, pero estoy seguro de que ya lo sabes.

Además, hay otra forma de ver el problema que puede resultarle útil, aunque se trata de una perspectiva matemática en lugar de física. He visto$\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$llamado "álgebra de productos cruzados" en algunos textos, y la siguiente es la razón. Su identidad es un caso particular de una identidad general para los homomorfismos del álgebra de Lie para el caso especial de la representación adjunta del producto vectorial del álgebra de Lie.

Comencemos con el producto vectorial que opera en vectores tridimensionales y trabajemos hacia atrás en la dirección opuesta a su pregunta. El producto vectorial con vectores 3D es un álgebra de Lie abstracta sobre los reales: es bilineal, asimétrico y cumple la identidad de Jacobi.

Hay un teorema complicado llamado teorema de Ado que esencialmente dice que cada álgebra de Lie abstracta sobre un campo de cero característico puede realizarse como un álgebra de Lie matricial. La prueba del teorema de Ado es esencialmente un algoritmo muy complicado para deducir esa matriz de álgebra de Lie a partir de un conjunto de relaciones de conmutación abstractas, en principio.

En este caso particular, sin embargo, el alogoritmo del teorema de Ado es muy simple, porque el álgebra de Lie no tiene centro : ningún miembro del álgebra conmuta con todo lo demás.

Lo que esto significa es que, a fuerza de la identidad:

$$\mathrm{ad}([X,\,Y]) = \mathrm{ad}(X)\,\mathrm{ad}(X)-\mathrm{ad}(Y)\,\mathrm{ad}(X) = [\mathrm{ad}(X),\,\mathrm{ad}(Y)]\tag{1}$$

(que resulta ser la identidad de Jacobi disfrazada y también es su identidad exacta disfrazada, consulte la nota al pie) la imagen del "álgebra de producto cruzado" debajo de la representación adjunta es la misma álgebra de Lie. En un lenguaje más cotidiano, cuando escribes las matrices para el mapa lineal$Y\mapsto X\times Y$, eso es:

$$Y=\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right) \mapsto X\times Y = \left(\begin{array}{ccc}0&-x_3&x_2\\x_3&0&-x_1\\-x_2&x_1&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\tag{2}$$

el espacio vectorial abarcado por las matrices de las operaciones lineales "base" de la forma$U\mapsto \hat{X}\times U$,$U\mapsto \hat{Y}\times U$,$U\mapsto \hat{Z}\times U$forman el mismo álgebra de Lie que el álgebra de productos cruzados, cuando uno usa el soporte de conmutador de matriz habitual como el producto de Lie (aquí$\hat{X},\,\hat{Y},\,\hat{Z}$son los vectores normales de base unitaria euclidiana). Esta nueva álgebra, a saber, la imagen del álgebra de productos cruzados bajo la representación adjunta, por supuesto no es otra que$\mathfrak{so}(3)$, y el procedimiento del teorema de Ado aquí realiza el álgebra como el$3\times 3$matrices reales en lugar del "cuaternión" álgebra de matrices de Pauli$\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$. Sin embargo, como ya hemos señalado, estas dos álgebras de Lie son isomorfas.

En resumen, en su identidad, el lado izquierdo de (1) juega el papel del lado derecho de su identidad. El producto cruzado es el corchete de Lie en el producto cruzado con álgebra de vectores 3D. El lado izquierdo de su identidad corresponde al lado derecho de (1). Podemos reescribir (1) como:

$$\mathrm{ad}(X \times Y) = [\mathrm{ad}(X),\,\mathrm{ad}(Y)]$$

y el factor$i$se agrega para convertir las matrices hermitianas de Pauli en unidades de cuaterniones sesgadas-hermitianas (estas últimas son el álgebra de Lie).