¿Existe un esquema de grupo de renormalización de espín en bloque que preserve la dualidad Kramers-Wanier?

El grupo de renormalización de espín de bloque (RG) (o RG de espacio real) es un enfoque para estudiar modelos de mecánica estadística de espines en la red. En particular, estoy interesado en el modelo de celosía cuadrada 2D con grados de libertad en el sitio (es decir, giros) que son los elementos$g_i$en un grupo abeliano finito$g_i\in G$, y la función de partición tiene la siguiente forma

$$\begin{split}Z&=\sum_{[g_i\in G]}e^{-S[g_i]},\\S[g_i]&=-\sum_{\langle ij\rangle}K(g_i^{-1}g_j),\end{split}$$

dónde$K(g)$es una función de grupo adecuada ($K:G\to\mathbb{R}$) para penalizar los elementos del grupo que difieren de la identidad. El giro de bloque RG divide la red en pequeños bloques (etiquetados por$I,J$) y reescribe la acción en términos del giro del bloque$g_I\sim\sum_{i\in I}g_i$(cómo mapear la suma de nuevo a un elemento$g_I\in G$depende del esquema RG), de modo que la función de partición se puede reescribir como

$$Z=\sum_{[g_I\in G]}\sum_{[g_i\in G]}\delta\big[g_I\sim\textstyle{\sum}_{i\in I}g_i\big]e^{-S[g_i]}=\sum_{[g_I\in G]}e^{-S'[g_I]},$$

donde la nueva acción toma la forma de

$$S'[g_i]=-\sum_{\langle IJ\rangle}K'(g_I^{-1}g_J)+\cdots.$$

Al omitir los términos de orden superior generados bajo RG, el procedimiento RG puede considerarse como un mapa de funciones$\mathcal{R}$que toma la función de grupo$K(g)$a$K'(g)$.

Por otro lado, tal modelo de grupo abeliano finito$G$en la celosía cuadrada admite la dualidad Kramers-Wanier. El paso clave de la dualidad es una transformada de Fourier (en el grupo abeliano$G$)

$$e^{-\tilde{K}(\tilde{g})}=\sum_{g\in G}e^{-K(g)}\;\chi(g,\tilde{g}),$$

dónde$\tilde{g}$es una representación de$G$, y$\chi(g,\tilde{g})$es el personaje Debido a que la representación de un grupo abeliano finito$G$también forma un grupo abeliano finito$\tilde{G}$, y$\tilde{G}$es isomorfo a$G$(lo que significa que el grupo dual$\tilde{G}$es lo mismo que$G$). Combinando con el hecho de que la red dual de la red cuadrada sigue siendo una red cuadrada, la dualidad de Kramers-Wanier puede considerarse como un mapa funcional biyectivo$\mathcal{D}$que mapas$K(g)$a$\tilde{K}(g)$(y viceversa).

Sin embargo, no es obvio para mí que el giro del bloque RG conserva la dualidad Kramers-Wanier. Creo que en general la transformación RG$\mathcal{R}$no se garantiza que conmutará con la transformación de dualidad$\mathcal{D}$, o digamos que el siguiente diagrama no conmuta en general:

$$\begin{array}{lllllll} K & \overset{\mathcal{R}}{\to} & K' & \overset{\mathcal{R}}{\to} & K'' & \overset{\mathcal{R}}{\to} \cdots\\ \updownarrow\tiny\mathcal{D} & & \updownarrow\tiny\mathcal{D} & & \updownarrow\tiny\mathcal{D} & \\ \tilde{K} & \overset{\mathcal{R}}{\to} & \tilde{K}' & \overset{\mathcal{R}}{\to} & \tilde{K}'' & \overset{\mathcal{R}}{\to} \cdots \end{array}$$

Entonces, la pregunta es cómo diseñar el esquema RG de giro de bloque para hacer que el diagrama anterior se desplace. ¿Existe un diseño sistemático del esquema RG de espín en bloque que preserve la dualidad Kramers-Wanier?