¿Cómo entender las singularidades en física?

Como ya se señaló, dentro de la física clásica, singularidades como$1/r^2$señalar una ruptura de la teoría. Si estamos realmente interesados ​​en lo que sucede en el punto de la singularidad, debemos usar la física cuántica. Tu puedes pensar en$1/r^2$como la forma de escala asintótica de la teoría cuántica para grandes$r$. La singularidad real no es física.

Por otro lado, las singularidades de la termodinámica son un resultado directo del límite termodinámico. Cuando tiene muchas partículas, todas pueden trabajar juntas para hacer cantidades físicas (típicamente susceptibilidades) muy grandes. En el límite de partículas infinitas, la cantidad correspondiente diverge. En la práctica estas singularidades no se realizan por dos motivos. Primero, nunca estás realmente en el límite termodinámico. Sin embargo, esto no es una limitación real porque los átomos son tan pequeños que fácilmente puede tener$10^{23}$de ellos. Un número tan grande es indistinguible del infinito. La verdadera razón es que para encontrar una divergencia de este tipo, por lo general hay que ajustar algún parámetro del sistema para que se asiente exactamente en el punto crítico. Necesita que la temperatura y la presión sean matemáticamente iguales a sus valores críticos. Nunca puedes hacerlo.

En realidad, es natural que encuentre algo no analítico en una transición de fase. Físicamente, una transición de fase es un punto en el espacio de fase donde las propiedades del sistema cambian abruptamente. Pasas del agua al hielo. El sistema es líquido o sólido, no hay un estado de interpolación en el medio donde el sistema es blando. Matemáticamente, esto se manifiesta como un cambio no analítico del potencial termodinámico, es decir, una divergencia de su derivada (de orden suficientemente alto).

Concluiría que estos dos tipos de singularidades no están relacionados. Sin embargo, existe una conexión en la herramienta teórica que se utiliza para resolver estos problemas: la Renormalización.

Sobre el$1/r^2$Por otro lado, la teoría cuántica de campos nos dice que, en realidad, las partículas interactúan entre sí y que esto conduce a divergencias en las teorías que se definen en un espacio continuo. Estas divergencias pueden reabsorberse en los parámetros microscópicos (e inobservables) del sistema que divergen de tal manera que todos los infinitos se anulan. Ver este artículo.

Por el lado de la termodinámica, los puntos críticos están asociados con puntos fijos del grupo de renormalización . Allí, el sistema es invariable bajo el granulado grueso combinado de sus detalles finos y alejamiento. Luego encontramos la invariancia de escala y las leyes de potencia que se pueden observar en una transición de fase.

Aunque estos procedimientos tienen interpretaciones completamente diferentes, son técnicamente muy similares y contienen las mismas ideas. En el lado de la teoría cuántica de campos, desea que el espacio sea continuo. Utiliza la renormalización para hacer que la cuadrícula de espacio-tiempo sea infinitamente pequeña sin generar divergencias. Por otro lado, en el punto crítico de los sistemas estadísticos, la longitud de correlación del sistema es tan grande que la cuadrícula espacial (por ejemplo, en un cristal) es irrelevante y su teoría es efectivamente continua.

... r=0 se excluye trivialmente (al menos para objetos macroscópicos) porque tienen volúmenes excluidos bien definidos y no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo, por lo tanto, se puede argumentar que la divergencia en el caso r=0 es un artefacto matemático

El radio de las partículas elementales puede ser 0 si son partículas puntuales (hasta ahora, es mejor pensar en los electrones como partículas puntuales). Si es así, son puntos de masa física, con carga y masa finitas. No hay problema con tal singularidad física, siempre y cuando conozcamos sus propiedades y las leyes de su comportamiento en determinadas condiciones.

Eso$r=0$no pasa es verdad cuando$r$representa la distancia de dos electrones. Imagina dos electrones puntuales. Muy bien pueden tener dimensiones y volumen cero, siempre que tengan una distancia mutua positiva. No pueden acercarse hasta la distancia 0, ya que eso requeriría, según la ley de Coulomb, energía infinita.

¿La mayoría de las singularidades encontradas en la física clásica son solo recordatorios del hecho de que dentro de los modelos clásicos, no todo puede explicarse, y uno tiene que recurrir a marcos más generales como QM, donde luego se resolverían las singularidades?

Eso depende. Si algún modelo falla en cierto punto en el que sabemos que existe la respuesta correcta y es cuantificable, entonces el modelo está equivocado en este punto y hay una buena razón para buscar un modelo mejor.

Si la singularidad es física (partículas puntuales) y podemos usarla y calcular con ella de manera consistente (la distancia nunca llega a ser 0 en la práctica), ese tipo de singularidad está bien y tiene su lugar en la física.

Leyes de singularidad en la fuerza

Si las leyes de fuerza fueran fundamentales para la naturaleza, esto sería un problema grave. Imagine, por ejemplo, la energía gravitatoria entre fotones. Son bosones y, por lo tanto, pueden ocupar el mismo estado cuántico; crucialmente, más de uno de ellos puede estar y permanecer en la misma posición donde la fuerza gravitatoria (tienen energía y, por lo tanto, relativistamente, masa) y la erergía divergen.

De hecho, la situación es aún peor: incluso si de alguna manera encontramos una laguna en torno a la divergencia cuando las partículas que interactúan están exactamente en el mismo lugar, todavía hay un problema con una sola partícula. Para un electrón puntual (o incluso casi puntual), solo la energía propia de la repulsión eléctrica de su carga que actúa sobre sí mismo (imagínelo ensamblado al reducir una distribución de carga espacialmente extendida) excede fácilmente su masa en reposo. ¿De dónde podría venir esta energía?

La verdad es que las fuerzas son solo una simplificación útil de algo más fundamental. Las partículas virtuales describen la interacción entre partículas que (solo) para energías bajas (con una resolución correspondientemente limitada en el momento y, por lo tanto, en la posición) se vuelven indistinguibles de las leyes de fuerza.

Singularidad en transiciones de fase

Una transición de fase es el cambio repentino en algo, generalmente la disposición o el comportamiento de un conjunto de partículas. Eso generalmente corresponde a cambios en casi cualquier propiedad del sistema colectivo. La definición que usas intenta ser lo más amplia posible pero se limita a considerar una sola cantidad, la energía libre. Para ser más general que solo prescribir un cambio repentino en la energía libre en sí, incluye el concepto de$n$Cambios de fase de -ésimo orden donde el cambio repentino solo ocurre en una derivada (posiblemente más alta) de la energía libre. Pero el punto importante es simplemente que (generalmente) casi cualquier cantidad cambiará de manera similar (aunque posiblemente en una derivada mínima diferente).

La principal diferencia de esta divergencia con el tipo que se encuentra en las leyes de fuerza es que la existencia de esta divergencia, el cambio repentino, es fundamental para la física descrita. Si no estuviera ahí, no habría cambio de fase. En las leyes de fuerza, las divergencias ocurren en la idealización o simplificación matemática de la realidad mientras que la realidad es sutilmente diferente (o más complicada, si se quiere).

Esto también explica su pregunta final: ¿Por qué una transición de fase debería corresponder a una divergencia o singularidad matemática? Es porque corresponde a un cambio que no es gradual en un parámetro clave (por ejemplo, la temperatura). Por lo tanto, (o su derivado o el derivado de eso, etc.) debe dar un salto repentino en lugar de un salto suave. Es posible que pueda suavizar matemáticamente la transición de alguna manera; por ejemplo, si lo parametriza por la entropía en lugar de por la temperatura, un$0$La transición de fase de segundo orden a menudo podría verse como una transición de primer orden porque para lograrla, a una temperatura definida (constante), se debe agregar o eliminar entropía del sistema para completar la transición. Pero aún encontrará su discontinuidad (o divergencia o singularidad si lo desea), aunque posiblemente solo en alguna derivada superior.

Solo puedo ofrecer una respuesta parcial a la primera parte de su pregunta.

uno se encuentra con funciones que divergen en un punto dado, ejemplos típicos serían el Coulomb o las fuerzas gravitatorias siendo ∝ 1/r², claramente divergen en r=0...

La fuerza gravitacional en realidad no es proporcional a 1/r². Eche un vistazo a la gráfica de potencial gravitatorio en Wikipedia .

Imagen de CCASA por AllenMcC, ver Wikipedia Commons

La pendiente de la gráfica representa la fuerza de la gravedad para un corte ecuatorial a través de la Tierra y el espacio circundante. Y aunque la pendiente inicialmente aumenta a medida que r disminuye, termina disminuyendo . Así que el infinito en r=0 es una ficción matemática.

¿Son la mayoría de las singularidades encontradas en la física clásica solo recordatorios del hecho de que dentro de los modelos clásicos, no todo puede ser explicado...

Yo diría que no, pero que algunas singularidades son el resultado de "soluciones no reales". Por ejemplo, el potencial gravitacional podría trazarse utilizando las velocidades de los relojes de luz punteadas a lo largo de la porción ecuatorial: los relojes van más lentos cuando están más bajos. Luego, cuando hizo esto para un agujero negro, la frecuencia del reloj de luz en el horizonte de eventos es cero. Y no puede ir más bajo que esto . Por lo tanto, su gráfico se parece a la imagen de abajo, sin una singularidad de punto en el medio.

No puedo hablar de singularidades en el sentido de la relatividad general, pero su ejemplo de$1/r^2$leyes en la física clásica en realidad se resuelve la mayor parte del tiempo por la estructura interna. Uno de mis profesores de física siempre decía que la naturaleza resuelve infinitos con estructura interna.

Por ejemplo, para una esfera cargada de densidad de carga uniforme, el campo eléctrico es como$r$para$r<R$(el radio de la esfera) y como$1/r^2$para$r>R$. Lo mismo es cierto para un cuerpo gravitatorio esférico de densidad de masa uniforme. Así que la estructura interna te ayuda a evitar infinitos.

Ahora, obviamente, esto no tiene en cuenta el hecho de que los electrones y los quarks, como sabemos hasta ahora, son objetos puntuales, pero eso es solo porque la precisión y la exactitud en los experimentos son limitadas. Podemos encontrar que tienen una estructura interna, pero sin embargo, la mecánica cuántica debe entrar en juego cuando se trata de estos.