Lo extraño del máximo en la ley de Planck

Trataré de abordar punto por punto la pregunta.

Entonces tenemos$E(\omega)$la energía radiada a una frecuencia dada.

En realidad, no, tenemos una energía por unidad de frecuencia. Es como una densidad. Para una densidad de masa$\rho$tienes una masa por unidad de volumen, y la densidad puede variar de un lugar a otro, así que para obtener la masa total, divides el espacio en un montón de pequeños volúmenes, cada uno de los cuales tiene una densidad constante dentro de cierta tolerancia, luego tomas eso densidad y ese volumen y multiplicarlos juntos para obtener la masa de esa pieza, y sumar todas las piezas, o$m=\iiint\rho dx dy dz$. Del mismo modo tienes energía$U$y densidad de energía$u$. Pero vienen en varios tipos, puedes tener una energía por unidad de longitud de onda$u_\lambda$o una energía por unidad de frecuencia$u_\nu$, y estas dos densidades de energía diferentes (por longitud de onda y por frecuencia) ni siquiera tienen las mismas unidades. Para una energía por longitud de onda$u_\lambda$, tomas todas las longitudes de onda posibles, cortas el intervalo en pedazos, cada uno de los cuales tiene la densidad$u_\lambda$no cambia mucho y multiplica la densidad$u_\lambda$por el intervalo de longitudes de onda en las piezas$\Delta \lambda$Llegar$u_\lambda \Delta \lambda$la energía total$dU$en esa parte, luego sumas eso para cada parte del intervalo total para obtener la energía total:

De manera similar para la frecuencia, toma el rango de frecuencia total$(0,\infty)$, corte el intervalo en pedazos, cada uno de los cuales la densidad$u_\nu$no cambia mucho y multiplica la densidad$u_\nu$por el intervalo de frecuencias en la pieza$\Delta \nu$Llegar$u_\nu \Delta \nu$la energía total en esa pieza, luego sumas eso para cada pieza$dU$del intervalo total para obtener la energía total:

Incluso podrías hacer esto a la inversa. Tome el intervalo de todas las frecuencias y divídalo en partes, luego, para cada parte, tome la energía total en esa parte$dU$, y dividirlo por el tamaño de la pieza$\Delta \nu$Llegar$dU/\Delta\nu$, y observe que cuando$\Delta \nu$es lo suficientemente pequeño, el cociente$dU/\Delta \nu$ya no cambia ($dU$también se vuelve más pequeño cuando se considera un rango más pequeño de frecuencias). Ese cociente es la densidad de energía$u_\nu$.

Si hace esto, verá que para cualquier parte del intervalo total, hay una cantidad real de energía en el intervalo,$dU$, y que hay una frecuencia más baja real (longitud de onda alta) y una frecuencia más alta real (longitud de onda baja) y todo lo que crees que está bien. La única diferencia es que la longitud del intervalo de longitudes de onda es diferente a la longitud del intervalo de frecuencias.

Por ejemplo, si pasó de 1 Hz a 2 Hz en frecuencia, entonces$\Delta \nu=$2Hz-1Hz=1Hz, entonces obtienes$u_\nu = dU/\Delta \nu=dU/$1 Hz. Para exactamente el mismo intervalo de frecuencias hay un intervalo de longitudes de onda que cubre la misma parte del total. Ya que$\lambda \nu=c$(su ecuación estaba errada por un factor de$2\pi$ya que usaste la frecuencia angular), tenemos una longitud de onda más baja de$c/2Hz$y una longitud de onda superior de$c/1Hz$, estas son longitudes de onda y tienen unidades de longitud de onda, y en este caso se trata de$1.5\times10^8 m$. Lo mismo$dU$se divide por 1 Hz para obtener$u_\nu$pero se divide por$1.5\times10^8 m$Llegar$u_\lambda$, no parece gran cosa. Sin embargo, ¿qué pasaría si su rango de frecuencia fuera de$2 Hz$a$3 Hz$, entonces hay una nueva$dU$para este rango. Y el$\Delta \nu$es de nuevo$3Hz-2Hz=1Hz$, pero el$\Delta \lambda$es igual$c/2Hz-c/3Hz$lo cual es sobre$5\times10^7 m$. Así que exactamente el mismo bit de energía$dU$se divide por un rango más pequeño de longitudes de onda, por lo que para exactamente el mismo intervalo de ondas físicas$u_\lambda$es mayor que$u_\nu$(más grande de lo que era para un intervalo ligeramente diferente que en el espacio de frecuencias era igual de largo). La energía involucrada$dU$es exactamente igual siempre, y las longitudes de onda de corte obedecen$\lambda \nu = c$, pero el$\Delta \lambda$y el$\Delta \nu$son diferentes de un intervalo a otro. Entonces las densidades son diferentes, ya que la densidad es la razón de$dU$la energía real para$\Delta \lambda$(o$\Delta \nu$) para energía por longitud de onda (o energía por frecuencia respectivamente).

Ahora bien, esta función tiene un máximo en alguna parte, por lo que hay una frecuencia en la que se emite una cantidad máxima de energía.

La función no es energía a una frecuencia, es la energía$dU$dividido por la longitud$\Delta \nu$del intervalo de frecuencia en cuestión. No es la energía. Es un máximo cuando$dU$se vuelve más grande que cualquier otro$dU$para intervalos del mismo tamaño$\Delta \nu$. Imagine tomar un intervalo muy muy pequeño$\Delta \nu$, y moviéndolo a diferentes lugares (pero manteniendo el mismo tamaño) hasta encontrar un lugar donde$dU$porque ese intervalo es mayor. Eso es lo que significa que una densidad esté en su máximo. Esa es la frecuencia donde una ventana de frecuencias de dispersión de frecuencia fija da la mayor cantidad de energía. Y estas ventanas de distribución de frecuencia fija (digamos 1 Hz, o un mHz o uno$\mu$Hz) no tienen una extensión de longitud de onda fija a medida que los mueve a diferentes lugares, por lo que no tiene nada que ver con dónde la densidad por longitud de onda es máxima.

Para encontrar donde$u_\lambda$es máxima, tenga en cuenta que es la energía$dU$dividido por la longitud$\Delta \lambda$del intervalo de frecuencia en cuestión. No es la energía. Es un máximo cuando$dU$se vuelve más grande que cualquier otro$dU$para intervalos del mismo tamaño$\Delta \lambda$. Imagine tomar un intervalo muy muy pequeño$\Delta \lambda$, y moviéndolo a diferentes lugares (pero manteniendo el mismo tamaño) hasta encontrar un lugar donde$dU$porque ese intervalo es mayor. Eso es lo que significa que una densidad esté en su máximo. Esa es la longitud de onda en la que una ventana de longitudes de onda de longitud de onda fija da la mayor cantidad de energía. Y estas ventanas de extensión de longitud de onda fija (digamos 1 mm, o un mo un kilómetro) no tienen una extensión de frecuencia fija a medida que las mueve a diferentes lugares, por lo que no tiene nada que ver con dónde la densidad por frecuencia es máxima.

En otras palabras: si sumas la suma de las energías de los fotones en cada frecuencia que se emite, notarás que se alcanza el máximo en esta [frecuencia].

No, y esta vez está mal en muchos niveles adicionales, esto genera fotones, y la densidad de energía depende de la energía total en el intervalo, no es una medida por fotón, eso sería un problema totalmente diferente. Y no estamos sumando energía por frecuencia, estamos sumando la energía de intervalos de frecuencias, el resultado para cada intervalo es$dU=u_\nu\Delta\nu$.

Ahora$E(\lambda)$te dice básicamente lo mismo para la longitud de onda

Excepto si usamos los mismos intervalos, ahora tienen el mismo$dU$para cada intervalo, pero el$\Delta \lambda$para cada intervalo es diferente, entonces$u_\lambda$es diferente.

Sabemos a qué frecuencia se irradia la cantidad máxima de energía, por lo que conocemos la longitud de onda correspondiente.

Podríamos saber qué intervalo$dU$dio la mayor cantidad de energía, y si todos los intervalos fueran de tamaño fijo$\Delta \nu$en el espacio de frecuencias entonces de hecho podemos tomar$u_\nu=dU/\Delta\nu$y el mas grande sera donde$u_\nu$es el más grande pero para conseguir$u_\lambda$, tenemos que calcular$u_\lambda=dU/\Delta\lambda$y el$\Delta \lambda$son diferentes para estos intervalos, por lo que el que hizo$u_\nu=dU/\Delta\nu$mas grande no es el que hace$u_\lambda=dU/\Delta\lambda$más grande

Realmente se trata de saber qué es una densidad de energía, una energía dividida por una cantidad de materia (dispersión de longitudes de onda, dispersión de frecuencia, región de volumen, etc.)

La recompensa era por respuestas bien documentadas, así que traté de incluir todos los detalles para que esta respuesta por sí sola responda todo. Lo único que realmente necesitas saber es qué es una densidad, que es algo que pones en un entero, energía por longitud de onda.$u_\lambda$es algo que da

para la energía total para cualquier rango de longitudes de onda. Y energía por frecuencia$u_\nu$es algo que da

para la energía total para cualquier rango de frecuencias. Absolutamente todo lo demás se deriva de saber eso, que es solo la definición de una densidad.

Repasemos lo que significa el término "densidad de energía espectral". Significa la cantidad de energía emitida en un infinitesimal$d \lambda$o$d \nu$.

Ahora debido a la relación$\lambda=\frac{c}{\nu}$, podemos encontrar que$d \lambda=-\frac{c}{\nu^2}d \nu$.

los$\nu^2$en el denominador conduce al fenómeno dado. Podemos pensar en el problema como encontrar la caja ($d \lambda$) que tiene la altura máxima en la curva de Planck.

Obviamente, el cuadro naranja es el máximo requerido. Sin embargo, si tuviéramos que representar el gráfico dado en términos de frecuencia, el tamaño de los cuadros ($d \lambda$o$d \nu$) cambiaría debido a la$\nu^2$en el denominador. Como resultado, la casilla que corresponde a la altura máxima en la curva de longitud de onda puede no corresponder a la altura máxima. altura en la curva de frecuencia. Esto es exactamente lo que sucede y los gráficos alcanzan su punto máximo en dos puntos diferentes.

No hay mucha física involucrada. Los dos gráficos siguientes ($\sin(x)$y$\sin(x^{-1})/x^2$) resúmelo. Las áreas más grandes son la verde y la azul. En el primer gráfico, las áreas tienen anchos iguales. En el segundo gráfico, las áreas están invertidas en orden y los anchos no son los mismos.

Aquí hay una respuesta que no usa matemáticas más que contar , que es todo lo que necesitamos para explicar este fenómeno.

Imágenes generadas con este script .

Lanza un par de dados 1000 veces. Los resultados individuales se ven así:

10,6,11,4,6,8,7,5,7,5,11,6,9,8,11,5,7,11,7,6,8,9,8,6,9,8,9,7,6,12...

Ahora, si graficamos la frecuencia de cada resultado, observamos que siete aparece con mayor frecuencia:

La razón es que el resultado siete se puede lograr de muchas maneras diferentes (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 y 6+1) mientras que, por ejemplo, dos solo se puede obtener cuando ambos dados dan exactamente 1

Ahora se podría esperar que trazando los recíprocos de estos resultados (que van desde$\tfrac1{12}$a$\tfrac12$) mostraría un pico en$\tfrac17 \approx 0.143$. Bueno, resulta que esto no sucede: el pico en realidad está más bien en$0.12$:

La razón de esto es el agrupamiento : porque los recíprocos caen más densamente alrededor de valores bajos (el espacio entre$\tfrac1{12}$y$\tfrac1{11}$es solo$0.0076$, mientras que el espacio entre$\tfrac13$y$\tfrac12$es$0.16$). Por lo tanto, en realidad obtenemos más resultados diferentes en el$0.12$bin que en el$0.14$compartimiento.

Ahora, para este ejemplo de dados, podríamos eliminar este problema haciendo tantos contenedores tan pequeños que cada resultado posible tenga su propio contenedor:

En esta vista, el pico está en$0.14$. La mayoría de los contenedores son cero.

Pero esto solo funciona porque los resultados individuales están cuantificados: no puedes obtener dos dados para sumar, por ejemplo,$8.734$.
Una distribución física como el espectro de Planck es continua, es decir, no importa lo pequeños que hagamos los contenedores, siempre tendremos “eventos diferentes” en cada contenedor. Y la configuración de contenedores con distribución equitativa en el espacio de frecuencias da un resultado diferente al de los contenedores con espacios iguales en el espacio de longitudes de onda.

La física es simple: la longitud de onda no es proporcional a la frecuencia , sino una función "distorsionada" de esta última, por lo que las funciones de densidad (factores en$d\nu$y$d\lambda$) son diferentes.

Sí, confunde a mucha gente. En ese sentido, deberíamos tener 2 leyes de Wien; uno dando el máximo en longitud de onda y el otro en frecuencia, más una ley de Wien que se definirá con alguna nueva variable como$\nu^2$o$\lambda^3$. Cada vez que hagamos eso, obtendremos una nueva ley de Wien. La física que depende tanto de nuestra elección de variables debería simplemente abandonarse porque produce confusión. Hubo una linda publicación al respecto, donde proponen una nueva definición

https://arxiv.org/pdf/1109.3822.pdf

Hay muchas opciones diferentes para la variable.$x$que describe el tipo de onda EM armónica plana (su frecuencia), y cada una puede conducir a una función diferente$I_x(x)$es decir, expresar la distribución espectral original de la radiación estudiada. Si nueva variable$x' = T(x)$se introduce, esto significa que generalmente la igualdad

no necesita ser satisfecho. Si lo fuera, el máximo de$I_x$tendría$x$correspondiente a$x'$que maximiza$I_{x'}$; pero a menudo no lo es.

Esto se debe a que la transformación a otras funciones espectrales se realiza más bien requiriendo que

Dado que estas dos funciones$I_x, I_{x'}$no necesitan satisfacer (1), sus máximos pueden corresponder a diferentes tipos de ondas EM, y luego, obviamente, la onda cuya longitud de onda maximiza$I_{\lambda}(\lambda)$no tiene por qué ser la misma onda cuya frecuencia maximiza$I_f(f)$.