¿Por qué no coinciden las derivadas del espectro del cuerpo negro sobre la frecuencia y la longitud de onda?

Densidad de potencia espectral expresada en función de la longitud de onda$E(\lambda)$debe satisfacer

$$P=\int_0^\infty E(\lambda)\; d\lambda,$$

dónde$P$es poder total. Por otro lado, si lo expresamos en función de la frecuencia$E'(\nu)$, tenemos:

$$P=\int_0^\infty E'(\nu)\; d\nu.$$

y la cosa es que$E(\lambda)\ne E'(\nu)$para$\lambda=\frac{c}{\nu}$. Tratemos de ver esto en términos de diferencial de poder.$dP$:

$$dP(\lambda)=E(\lambda)\; d\lambda=E\left(\frac{c}{\nu}\right)\; \frac{d\left(\frac{c}{\nu}\right)}{d\nu}d\nu=-E\left(\frac{c}{\nu}\right)\frac{c}{\nu^2}\;d\nu.$$

Así podemos ver que

$$E'(\nu)=-E\left(\frac{c}{\nu}\right)\frac{c}{\nu^2}=-E(\lambda)\lambda^2/c.$$

Esto es porque$E(\lambda)$no es una función habitual, es función de densidad de potencia . Será diferente para diferentes escalas de su argumento. Está relacionado con el hecho de que

$$\lambda_1-\lambda_2\ne \frac{c}{\nu_2-\nu_1}.$$

Ruslan ya dio una derivación rigurosa de la desigualdad, así que aquí hay una explicación física intuitiva:

Que hace$E(\lambda)$¿significar? Para ser concretos, usemos unidades de nanómetros.$E(\lambda)$significa la intensidad radiada por nanómetro medido . Por ejemplo, si tenemos un filtro de vidrio que elimina toda la luz excepto entre 600nm y 601nm, entonces la densidad de potencia que sobrevive a través del filtro será$\approx E(600.5\text{nm}).$

Que hace$E(\nu)$¿significar? Para ser concretos, usemos unidades de gigahercios.$E(\nu)$significa la intensidad radiada por gigahercio medido . Por ejemplo, si tenemos un filtro de vidrio que elimina toda la luz excepto entre 500 000 GHz (que es la frecuencia de la luz de 600 nm) y 500 001 GHz, entonces la densidad de potencia que sobrevive a través del filtro será$\approx E(500,000.5\text{GHz}).$

¿Esperas que estos números sean los mismos? ¿No porque? Porque el ancho del filtro en los dos casos es diferente. Puede comprobar por sí mismo que el intervalo entre 600 nm y 601 nm es en realidad de 831 GHz de ancho. Entonces$E(600.5\text{nm})$debe ser aproximadamente 831 veces más grande que$E(500,000.5\text{GHz})$.

Así que realmente están describiendo ideas físicamente diferentes , razón por la cual las fórmulas en la página de Wikipedia para la ley de Planck son diferentes para la longitud de onda y la frecuencia.

Pero eso no es todo. Dado que el ancho del intervalo de longitud de onda convertido a GHz también depende de la longitud de onda en la que se encuentre, el factor de multiplicación varía según la parte del espectro que esté mirando. Así que no hay razón para esperar que la ubicación máxima de$E(\lambda)$debe ser igual al máximo de$E(\nu)$.