¿La catástrofe de Planck?

Al derivar la fórmula del cuerpo negro de Planck, la densidad numérica de los modos normales (por unidad de frecuencia † ) se encuentra, dada por

norte ( ω ) = V π 2 C 3 ω 2 ,
dónde V es el volumen del cuerpo negro. Entonces la energía promedio de un modo de frecuencia ω se calcula utilizando la cuantización de Planck que la energía de un modo normal con frecuencia ω Solo puede ser norte ℏ ω por algún número entero norte .

¡Pero espera un minuto!

La energía de un oscilador cuántico lineal con frecuencia ω puede ser ( norte + 1 / 2 ) ℏ ω , y dado que al derivar la fórmula de Planck, se hace la analogía de los modos normales de las ondas electromagnéticas dentro de la cavidad del cuerpo negro con los modos normales del oscilador lineal, espero que tengamos en cuenta esta "energía de punto cero" , ϵ ω = ℏ ω / 2 para cada modo normal. Tenga en cuenta que esta energía de punto cero, ϵ ω depende de ω .

Pero si tomo esto en cuenta, ¡obtengo resultados extraños!

La energía promedio del modo normal de frecuencia. ω entonces viene dada por

⟨ mi ω ⟩ = ℏ ω mi ℏ ω / k B T − 1 + ϵ ω ,
y esto conduce a la siguiente densidad de energía.

ρ ( T , ω ) := 1 V norte ( ω ) ⟨ mi ω ⟩ = ℏ π 2 C 3 ω 3 mi ℏ ω / k B T − 1 + 1 π 2 C 3 ω 2 ϵ ω ⏟ término adicional

¡Ahora, este resultado es catastrófico! A menos que ϵ ω = 0 para todos ω 's (en cuyo caso esto coincidirá con la fórmula de Planck "correcta"), ρ diverge como ω → ∞ .

Preguntas: Entonces, ¿cuál es la salida? ¿Es claramente incorrecta la analogía que se presenta a menudo con el oscilador cuántico ? Para la radiación electromagnética, ¿la energía del punto cero es exactamente cero para todos ω '¿s?

† Por frecuencia, me refiero a la frecuencia angular.

Respuestas (1)

La termodinámica tiene que ver con el estudio del cambio . Por ejemplo, la primera ley d tu = PAG d V + T d S expresa el cambio de energía en términos de trabajo y flujo de calor.

Tenga en cuenta que la energía del punto cero depende solo de la frecuencia y las constantes fundamentales. No hay ningún parámetro externo que podamos variar para cambiar la energía del punto cero. Entonces, la energía del punto cero está, termodinámicamente hablando, desacoplada del resto del sistema y, por lo tanto, puede ignorarse.

Ahora hay algunas advertencias.

Primero, no es del todo cierto que las fluctuaciones no se acoplen a un parámetro externo. Si considera una caja con paredes reflectantes móviles, entonces hay una diferencia en la cantidad de energía de punto cero contenida en la caja, entonces habría una cantidad equivalente de espacio vacío sin las paredes reflectantes. La razón es que las paredes reflectantes imponen condiciones de contorno que eliminan algunos de los modos de la suma sobre norte . Esta diferencia de energía conduce a que la fuerza de Casimir actúe sobre las paredes de la caja. Sin embargo, este es un efecto muy pequeño.

En segundo lugar, la gravedad debería acoplarse a estas fluctuaciones. Hay una cantidad infinita (o al menos muy grande) de densidad de energía generada por las fluctuaciones de punto cero que deberían estar causando que el Universo se acelere a una velocidad infinita (o al menos muy grande), pero no observamos esto. Este es el problema de la constante cosmológica, para el cual no existe una solución universalmente acordada.

Pero aquí, no estoy mirando cambios. Estoy encontrando la densidad de energía en el equilibrio. Así que no creo que el descuido de la energía de punto cero esté del todo justificado.
Podría imaginarme diciendo que existe una densidad de energía de "fantasmas", pero que no se acopla a ningún parámetro controlable experimentalmente y que no tiene ningún efecto en ningún experimento. Por un lado, podría insistir en que incluyas la densidad de energía de los fantasmas en tus cálculos; por otro lado, si simplemente dejas fuera la contribución de los fantasmas, obtendrás la misma respuesta para cualquier cantidad observable. La situación es similar con la energía de punto cero, excepto en situaciones muy especiales en las que es necesario incluirla (es decir, el efecto Casimir, o tal vez en la gravedad).
Lo siento, pero no puedo entender este "acoplamiento con un parámetro controlable experimentalmente". ¿Puedes elaborar (o indicarme algún recurso)?
Otra forma de decir esto es que no puedes convertir la energía del punto cero en ningún otro tipo de energía, y viceversa. Entonces, desde el punto de vista de la termodinámica, no tiene sentido incluir este tipo de energía. Es como tener una caja con la que no puedes intercambiar energía o entropía, puedes decir que la caja está ahí pero no tiene consecuencias observables. El efecto Casimir es la única situación que conozco en la que realmente necesita incluirlo, pero para >99% de las aplicaciones no necesita preocuparse por el efecto Casimir.
Es análogo (pero no exactamente lo mismo) que decir que la energía se define solo hasta una constante general.
Oh, ahora eso tiene más sentido para mí. ¡Gracias!
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