¿Por qué la ley de Planck para la radiación de cuerpo negro tiene esa forma de campana?

Joshua me ha ganado una respuesta, pero aún así publicaré esto ya que está escrito en un nivel más simple.

La razón por la que obtienes un máximo es porque hay dos efectos que se oponen entre sí. El número de modos por unidad de frecuencia aumenta con la frecuencia al cuadrado, por lo que mientras la energía de los modos esté muy por debajo de kT, la energía es proporcional a la frecuencia al cuadrado. Esta es la razón por la cual el espectro del cuerpo negro inicialmente se eleva aproximadamente como la frecuencia al cuadrado.

Sin embargo, la probabilidad de que un modo se excite cae exponencialmente tan pronto como la energía del modo es mayor que kT, por lo que a medida que la frecuencia tiende al infinito, la radiación emitida cae a cero.

El resultado neto de los dos efectos es que la emisión primero sube y luego vuelve a caer, y por eso hay un máximo en el medio.

La distribución de Planck tiene una interpretación más general: da la distribución estadística de bosones no conservados (por ejemplo, fotones, fonones, etc.). Es decir, es la distribución de Bose-Einstein sin potencial químico.

Con esto en mente, observe que, en general, en equilibrio térmico sin conservación del número de partículas, el número de partículas$n(E)$ocupando estados con energía$E$es proporcional a un factor de Boltzmann. Para ser preciso:

El resultado clásico de$n(E)$o equivalente$n(\lambda)$diverge a pesar de la disminución exponencial del factor de Boltzmann porque$g(E)$crece de forma poco realista cuando no se tiene en cuenta la cuantización de los niveles de energía. Esta es la llamada catástrofe ultravioleta .

Cuando se supone que la energía de, por ejemplo, los fotones está cuantificada de modo que$E = h\nu$la degeneración$g(E)$no supera al factor Boltzmann$e^{-\beta E}$y$n(E) \longrightarrow 0$como$E \longrightarrow \infty$, como debería. Este resultado, por supuesto, se debe a Planck, de ahí el nombre de la distribución. Es sencillo resolver esto explícitamente para fotones en una caja cerrada o con condiciones de contorno periódicas (por ejemplo, ver Thermal Physics de Kittel).

Espero que esto no haya sido demasiado técnico. En resumen, el problema fundamental de la teoría clásica es que el número de estados accesibles a altas energías (longitudes de onda cortas) es irrealmente grande porque los niveles de energía de un "fotón clásico" no están cuantificados. Sin esta cuantización, la divergencia de$n(E)$(equivalentemente, de$n(\lambda)$) implicaría que la densidad de energía de una caja de fotones es infinita en el equilibrio térmico. Esto es, por supuesto, una tontería.