Llevando los dados no transitivos al límite

Los dados no transitivos, a veces intransitivos o no transitivos, son un concepto fascinante en probabilidad. Se trata de dados tales que, en enfrentamientos cara a cara, en lugar de tener una clasificación ordenada de "El dado A vencerá al dado B que vencerá al dado C" y así sucesivamente cuando se lanzan uno contra el otro, se producen bucles. Por ejemplo, esta publicación se refiere al problema de los tres conjuntos, donde cuando se emparejan, A rueda más alto que B, B rueda más alto que C y C rueda más alto que A.

¿Cuál es el conjunto más injusto de tres dados no transitivos?

Pero no solo pregunta eso, sino que pregunta una extensión muy específica: ¿qué tan favorables pueden ser las probabilidades? La respuesta resulta ser 7:5; en la respuesta más votada se dan ocho juegos de dados, cuatro con simetría, de manera que cada uno le gana al siguiente siete veces de doce.

Mi pregunta es la siguiente: supongamos que quiero un conjunto de cuatro dados no transitivos con seis caras cada uno, A, B, C, D, de modo que A venza a B, B venza a C, C venza a D y D venza a A. Entre esas coincidencias, no debe haber lazos posibles. Sin embargo, si los emparejamientos son A v C o B v D, debe estar parejo. Si las probabilidades para el bucle tienen que ser iguales y maximizarse, ¿qué tan lejos pueden llegar a estar empatadas?

Otra pregunta podría ser, para cinco dados, ¿puedes tener dos ciclos, A>B>C>D>E>A y A>C>E>B>D>A tales que todas las probabilidades sean las mismas? Y de nuevo, ¿qué tan injusto puedes hacerlo?

Tiene una gran pregunta, pero aquí hay una publicación de guía sobre MathJax, ya que parece que no ha usado ninguna. ¡Gracias por unirte!
Entonces, su pregunta es la vinculada, pero con un dado más y una restricción adicional de que los pares "no vencedores" se emparejan de manera uniforme. Parece que la misma respuesta de allí también se aplica aquí en el caso de 4 dados, es decir, debería ser factible usar una computadora para verificar todas las posibilidades para 4 (o menos) dados.
A Tyma: Gracias por su preocupación, pero realmente no veo ningún lugar donde el uso de la notación adecuada ayude. Para Vepir: Esto puede ser cierto, aunque con 4 dados pasa de 17 millones de posibilidades a 2 billones, y con 5 dados sería aproximadamente un quintillón de arreglos. Sin embargo, no tengo conocimientos de codificación, por lo que tal tarea sería abrumadora y agotadora para mí.
Hay una pregunta similar anterior: math.stackexchange.com/questions/57338/…

Respuestas (1)

Como sospechas en los comentarios, revisar todas las posibilidades no funciona muy bien. La respuesta de 4 dados resulta ser 2 / 3 (para cualquier número de caras), por lo que el juego original de dados que Efron dio fue óptimo. Para norte Dado que la respuesta es

1 − 1 4 porque 2 ⁡ π norte + 2
Para norte = 5 esto es alrededor del 69,2%; siempre es menos que 3 / 4 .

La mejor referencia es este artículo de 2021:

Tiene algunas imágenes geoemtric muy bonitas.

Desafortunadamente, aunque esto da la probabilidad máxima para cualquier n, estaba preguntando sobre un conjunto de cuatro dados, A, B, C y D, de modo que A>B>C>D>A pero A y C empatan y B y D empate.
¡Ups, lo siento! Esa respuesta debería ser deducible de las desigualdades encontradas por Trybuła en este artículo: Trybuła, S. On the paradox of n random variables. Zastos. Estera. 8 (1965), 143–156. Esto es relevante para algunas investigaciones actuales, así que veré si puedo encontrar la respuesta explícita y volver a esto. Hay una serie de preguntas en esta área general que (sorprendentemente) todavía están abiertas.
Llevando los dados no transitivos al límite
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v