¿Cuál es el conjunto más injusto de tres dados no transitivos?

Resulta que puedes hacerlo un poco mejor que los dados en tu ejemplo. La probabilidad tiene que ser múltiplo de$1/36$, tu ejemplo tiene$20/36$, y el mejor valor posible es$21/36=7/12$.

De mi respuesta a la pregunta a la que anon se vinculó, sabemos que la probabilidad de una$6$Un dado de dos caras que gana a otro mientras tiene una mediana más baja puede ser como máximo$3/4-1/12=2/3=24/36$. Wikipedia da un ejemplo de un ciclo de cuatro dados en el que cada dado le gana al siguiente con esta probabilidad.

Estás buscando un ciclo de tres dados en el que cada dado le gana al siguiente con la misma probabilidad. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que los dados llevan$18$numeros diferentes Entonces hay$18!/6!^3=17153136$diferentes juegos de dados, por lo que está al alcance de nuestros amigos electrónicos probarlos todos. Aquí hay un código que hace eso (bastante ineficiente). El resultado es que la probabilidad máxima para tal ciclo es$21/36=7/12$y hay ocho juegos de dados diferentes que alcanzan esa probabilidad. Aquí están, con tramos consecutivos de números colapsados ​​en uno como en su ejemplo:

0 3 3 3 6 6
2 2 2 5 5 5
1 4 4 4 4 4

0 0 3 3 3 6
2 2 2 2 2 5
1 1 1 4 4 4

0 3 5 5 5 5
2 4 4 4 4 7
1 1 1 6 6 6

0 3 5 7 7 7
2 2 4 4 6 9
1 1 1 8 8 8

0 3 3 5 5 5
2 2 2 4 4 7
1 1 1 6 6 6

0 3 5 5 7 7
2 2 2 4 6 9
1 1 1 8 8 8

0 3 3 3 3 5
2 2 2 2 4 7
1 1 1 6 6 6

0 0 3 6 6 6
2 2 2 5 5 5
1 1 1 4 7 7

Hay dos conjuntos con$7$números diferentes, cuatro juegos con$8$y dos con$10$, y su ejemplo casi óptimo tiene$9$, mientras que el número medio de números diferentes después del colapso, promediado sobre todos los conjuntos con$18$números diferentes, es$18-17\cdot(5/17)=13$, por lo que los tramos consecutivos de números y, por lo tanto, la alta colapsabilidad son una característica llamativa de estos conjuntos.

PD: Me acabo de dar cuenta de que existe una simetría en el sentido de que puedes invertir el orden de los dados y los números y obtener otro conjunto con la misma probabilidad. Los dos primeros conjuntos están relacionados por esta simetría, al igual que el tercero y el séptimo, el cuarto y el sexto y el quinto y el octavo. Por lo tanto, solo hay cuatro juegos de dados realmente diferentes, con$7$,$8$,$10$y$8$números diferentes, respectivamente.

Si no se limita a seis lados, la mejor respuesta para cualquier número de lados resulta ser uno sobre la proporción áurea,$\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$. Esto fue respondido por primera vez (hasta donde yo sé) en un artículo de Stanisław Trybuła de 1961 que merece ser mejor conocido:

Trybuła, S. Sobre la paradoja de tres variables aleatorias. Zastos. Estera. 5 (1960/61), 321–332.

Hay algunos artículos más recientes, incluido uno de Komisarski de 2021 con bonitas imágenes:

Komisarski, Andrzej (PL-LODZ-PB) Variables aleatorias no transitivas y dados no transitivos. Amer. Matemáticas. Mensual 128 (2021), núm. 5, 423–434. https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00029890.2021.1889921?journalCode=uamm20