Expansiones de orden superior de un sistema acoplado gravitacionalmente al perturbar la métrica

A menudo, en la literatura (consulte, por ejemplo, la página 142 de https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019 ), cuando se linealiza un sistema gravitatorio (puro o acoplado a la materia) alrededor del espacio de Minkowski, uno escribe la métrica como gramo metro norte = η metro norte + h metro norte . El h metro norte generalmente se afirma que es una pequeña perturbación de la métrica, y la métrica inversa a primer orden se escribe gramo metro norte = η metro norte − h metro norte . Esto nos permite realizar una expansión en serie en varios objetos geométricos (como la curvatura, las conexiones, etc.).

Mi pregunta es la siguiente: al hacer esto, ¿estamos realmente exigiendo que gramo metro norte = η metro norte + h metro norte se mantiene exactamente, y luego calcula la métrica inversa a primer orden? Esta interpretación no cambia nada a primera vista, pero si queremos ir a orden superior lo hace. Por ejemplo, supongamos que deseamos realizar una expansión de segundo orden, entonces nos enfrentamos a (al menos) las siguientes dos posibilidades:

  1. Nosotros demandamos gramo metro norte = η metro norte + h metro norte se aplica a todos los órdenes y calcula la métrica inversa a segundo orden como gramo metro norte = η metro norte − h metro norte + h metro k h k norte . Esto se hace en, por ejemplo, https://arxiv.org/abs/hep-th/9411092v1 , ver eq. (2.9) y (2.10).
  2. Como una aproximación de segundo orden, escribimos la métrica como gramo metro norte = η metro norte + h metro norte + 1 2 h metro k h k norte y calcule su inversa de segundo orden como gramo metro norte = η metro norte − h metro norte + 1 2 h metro k h k norte .

Si elegimos la opción (1) o (2) tiene un efecto sobre las formas explícitas de las expansiones de orden superior de los objetos geométricos. Entonces, por ejemplo, si usamos el esquema (1) para linealizar la acción de Einstein-Hilbert llegaríamos a una acción cuadrática diferente que si hubiéramos usado el esquema (2) (en realidad, resulta que no importa para un fondo plano, pero sería para un fondo plano Ricci genérico; de todos modos, espero que entiendas el punto).

¿Es un esquema más correcto que el otro? ¿O es solo que uno se usa más comúnmente y se asume como una convención general cuando se linealizan las cosas? ¿O son los dos esquemas realmente equivalentes (en un orden fijo), ya que las fórmulas en (2) se pueden obtener reemplazando h metro norte → h metro norte + 1 2 h metro k h k norte En 1)?

Respuestas (1)

En general, hay diferentes formas de establecer la teoría de la perturbación, dependiendo de lo que quieras hacer.

Si su objetivo es resolver las ecuaciones de Einstein de manera perturbativa, entonces un enfoque común sería expandir la métrica alrededor de una solución exacta de forma iterativa (supongamos que es Minkowski por simplicidad)

gramo m v = η m v + h m v ( 1 ) + h m v ( 2 ) + . . .
La razón por la que esto es útil es porque las ecuaciones de Einstein para la norte La perturbación métrica de -ésimo orden será una ecuación lineal, generada por el 1 , 2 , . . . norte − 1 perturbaciones de orden (que fueron resueltas previamente). (Este caso en realidad no se mencionó en su pregunta).

Por ejemplo, dado un tensor de energía de tensión de fuente T m v , la ecuación de Einstein de orden principal es

mi h m v ( 1 ) = T m v
dónde mi es el operador de Lichnerowicz , o puedes decir mi h m v Tensor de Einstein linealizado.

La ecuación para la perturbación métrica de segundo orden es entonces

mi h m v ( 2 ) = t ( 1 ) [ h ( 1 ) ] m v
dónde t ( 1 ) [ h ( 1 ) ] m v es un tensor de energía de pseudoestrés que depende de h ( 1 ) . Como ya hemos resuelto la ecuación de orden principal para h ( 1 ) , la ecuación anterior debe considerarse como una ecuación lineal que debe resolverse para h ( 2 ) .

Sin embargo, esta no es la única forma de establecer la teoría de la perturbación. Por ejemplo, en la teoría cuántica de campos, es más común definir la perturbación métrica como

gramo m v = η m v + h m v
sin más división h m v en una pieza de primer orden, pieza de segundo orden, etc. (esto corresponde al caso 1 en su pregunta). Entonces podemos pensar en h m v como un campo, y podemos hacer la teoría de la perturbación QFT usando un Lagrangiano con interacciones cúbicas y de mayor orden en h , que esquemáticamente tiene la forma
L ∼ ( ∂ h ) 2 + h ( ∂ h ) 2 + . . .

Es mucho más raro, aunque matemáticamente posible, escribir una expresión para el tensor métrico que en realidad no sea lineal en la perturbación métrica (este es el caso 2 en su pregunta). Esto tiende a aumentar la complejidad ya que ahora ha introducido una ecuación no lineal que debe resolverse para definir la perturbación métrica. Sin embargo, hay casos en los que esto puede ser útil. Por ejemplo, uno puede trabajar con un vielbein mi m a , que está relacionado con la métrica a través de

gramo m v = η a b mi m a mi v b
Si el vielbein es un campo natural para usar (por ejemplo, si está acoplando fermiones a la gravedad), un paso útil puede ser perturbar el vielbein
mi m a = d m a + 1 2 h m a
Esto conduce a una expresión no lineal para la perturbación métrica
gramo m v = η m v + h m v + 1 4 η a b h m a h v b

Gracias por tu perspicaz respuesta. De hecho, estoy trabajando en el enfoque de vielbein, pero surge el mismo problema: es uno para escribir mi ~ a metro = mi a metro + h a b mi b metro + 1 2 h a b h b C mi C metro o mi ~ a metro = mi a metro + h a b mi b metro ? De su respuesta depende de su intención. Pero si quiero comparar con alguien que trabaja en el enfoque métrico, más allá del primer orden, es probable que nuestro h a b Los campos no son lo mismo. Entonces necesitaríamos comparar esquemas perturbativos y acordar un mapa entre los dos.
Sin embargo, tengo una pregunta con respecto a (por ejemplo) las transformaciones de Weyl: supongamos que tenemos dos métricas relacionadas conformemente, gramo ~ metro norte = mi − 2 σ gramo metro norte . Consideramos gramo metro norte para ser un espacio-tiempo de fondo con el que queremos realizar una expansión perturbativa. En el esquema (1) de la pregunta, tendríamos
gramo ~ metro norte = gramo metro norte + h metro norte   , h metro norte := ( mi − 2 σ − 1 ) gramo metro norte   .
En el esquema (2) tenemos
gramo ~ metro norte = gramo metro norte + h metro norte + 1 2 h metro pag h pag norte   , h metro norte := − 2 σ gramo metro norte   .
¿En qué sentido es el h metro norte del esquema (1) considerado como una perturbación?
@NormalsNotFar Sí, necesita calcular el mapa entre los dos conjuntos de variables en orden superior. Recomendaría hacer su pregunta de transformación de Weyl como una segunda pregunta, ya que es una buena pregunta y los comentarios no son buenos para una discusión extensa. La versión corta es que puede elegir cualquier forma de configurar una expansión perturbativa que sea conveniente.
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