Detalles de la predicción newtoniana para la precesión de Mercurio

Question

Detalles de la predicción newtoniana para la precesión de Mercurio

Física
precesión
sistema solar
gravedad newtoniana
teoría de la perturbación
recomendaciones de recursos

Tomás Smith

¿Alguien podría señalarme un libro o describir los métodos utilizados para calcular realmente los 532 segundos de arco por siglo que aparentemente predice la teoría newtoniana para la precesión de Mercurio? Me siento completamente cómodo con la obtención de GR's 43, pero ni siquiera sé por dónde empezar para Newton. Me siento bastante ridículo dado ese estado de cosas.

dmckee --- gatito ex-moderador

"Me siento bastante ridículo dado ese estado de cosas". ::risitas:: Es muy fácil pasar por alto cuán desarrollada estaba la física a principios del siglo XX en la emoción de estudiar el surgimiento radical de las relatividades de Einstein y las cosas cuánticas, ¿no es así? Marion y Thorton dan solo un boceto, por lo que puede probar con un libro de mecánica para graduados en busca de más detalles.

HDE 226868

Consulte physics.stackexchange.com/q/814 y sus enlaces; Se recomendó esta descripción general , aunque no creo que sea exactamente lo que está buscando. Esto se centra principalmente en la precesión newtoniana.

Tomás Smith

@HDE 226868 Gracias por la referencia. La idea de Taylor expandiéndose alrededor de una órbita circular es genial. Pero seguramente existe una exposición detallada de los efectos de todos los demás planetas en alguna parte.

usuario16622

No está claro de dónde viene esta cifra de 5557 segundos de arco por siglo. Después de muchos años de observaciones de la órbita de Mercurio, se calculó que la discrepancia promedio en la precesión era de 43 segundos de arco por siglo, cifra que se explica al incluir los efectos de la relatividad en el cálculo de la órbita de Mercurio. Que la relatividad pudiera explicar una discrepancia tan pequeña que se desvanece en los datos de observación ayudó mucho a convencer a los físicos de que la teoría era válida.

Tomás Smith

@ user16622 Ese número proviene de Einstein Gravity in a Nutshell, página 368. Ya estoy bastante familiarizado con el momento decisivo que tuvo Einstein con Mecrury. Pero gracias.

usuario16622

Veo una cifra bruta de 5600" por siglo allí, pero después de corregir los errores conocidos, la cifra neta de la discrepancia cae a 43" por siglo. En mi opinión, si la gravitación de Newton no se hubiera podido corregir por debajo de 5600" mediante errores de observación medibles, probablemente se habría descartado mucho antes de que apareciera Einstein. El logro de Einstein radicaba en dar cuenta de esta minúscula cifra de 43" por siglo, en lugar de la otra correcciones al error bruto de 5600".

Respuestas (1)

Detalles de la predicción newtoniana para la precesión de Mercurio

"Me siento bastante ridículo dado ese estado de cosas". ::risitas:: Es muy fácil pasar por alto cuán desarrollada estaba la física a principios del siglo XX en la emoción de estudiar el surgimiento radical de las relatividades de Einstein y las cosas cuánticas, ¿no es así? Marion y Thorton dan solo un boceto, por lo que puede probar con un libro de mecánica para graduados en busca de más detalles.
Consulte physics.stackexchange.com/q/814 y sus enlaces; Se recomendó esta descripción general , aunque no creo que sea exactamente lo que está buscando. Esto se centra principalmente en la precesión newtoniana.
@HDE 226868 Gracias por la referencia. La idea de Taylor expandiéndose alrededor de una órbita circular es genial. Pero seguramente existe una exposición detallada de los efectos de todos los demás planetas en alguna parte.
No está claro de dónde viene esta cifra de 5557 segundos de arco por siglo. Después de muchos años de observaciones de la órbita de Mercurio, se calculó que la discrepancia promedio en la precesión era de 43 segundos de arco por siglo, cifra que se explica al incluir los efectos de la relatividad en el cálculo de la órbita de Mercurio. Que la relatividad pudiera explicar una discrepancia tan pequeña que se desvanece en los datos de observación ayudó mucho a convencer a los físicos de que la teoría era válida.
@ user16622 Ese número proviene de Einstein Gravity in a Nutshell, página 368. Ya estoy bastante familiarizado con el momento decisivo que tuvo Einstein con Mecrury. Pero gracias.
Veo una cifra bruta de 5600" por siglo allí, pero después de corregir los errores conocidos, la cifra neta de la discrepancia cae a 43" por siglo. En mi opinión, si la gravitación de Newton no se hubiera podido corregir por debajo de 5600" mediante errores de observación medibles, probablemente se habría descartado mucho antes de que apareciera Einstein. El logro de Einstein radicaba en dar cuenta de esta minúscula cifra de 43" por siglo, en lugar de la otra correcciones al error bruto de 5600".

Diracología · Answer 1

La predicción de la mecánica newtoniana para la precesión de Mercurio es en realidad $532''$ por siglo.

el resultado general

Si la fuerza central es atractiva, existe una órbita circular de radio $r_0$ . Esta órbita circular es estable si corresponde a un mínimo del potencial efectivo , es decir

{tu}_{mi F}^{″} (r_{0}) > 0.

$U_{ef}''(r_0)>0.$ usando eso

U_{e f} = L^{2} / 2 m r^{2} + U

$U_{ef}=L^2/2mr^2+U$ y

F (r_{0}) = - L^{2} / m r_{0}^{3}

$F(r_0)=-L^2/mr_0^3$ , dónde

L

$L$ es el momento angular y

F = - U^{'}

$F=-U'$ , obtenemos

{tu}_{mi F}^{″} (r_{0}) = - \frac{3 F (r_{0}) + r_{0} F^{'} (r_{0})}{r_{0}} .

$U_{ef}''(r_0)=-\frac{3F(r_0)+r_0F'(r_0)}{r_0}.$ Si

r_{0}

$r_0$ da un minimo de

U_{e f}

$U_{ef}$ que después de expandirse a segundo orden

U_{e f}

$U_{ef}$ alrededor

r_{0}

$r_0$ podemos calcular el período de las oscilaciones radiales,

T_{r} = 2 π \sqrt{\frac{metro}{{tu}_{mi F}^{″} (r_{0})}} = 2 π \sqrt{\frac{- metro r_{0}}{3 F (r_{0}) + r_{0} F^{'} (r_{0})}} .

$T_r=2\pi\sqrt{\frac{m}{U_{ef}''(r_0)}}=2\pi\sqrt{\frac{-mr_0}{3F(r_0)+r_0F'(r_0)}}.$ Para pequeñas perturbaciones alrededor de la órbita circular podemos aproximar el ángulo barrido en el intervalo

T_{r}

$T_r$ por

Δ ϕ = \dot{ϕ} T_{r},

$\Delta\phi=\dot\phi T_r,$ dónde

\dot{ϕ} = \frac{L}{metro r^{2}} = \sqrt{- \frac{F (r_{0})}{metro r_{0}}} .

$\dot\phi=\frac{L}{mr^2}=\sqrt{-\frac{F(r_0)}{mr_0}}.$ Por eso

Δ ϕ = 2 π \sqrt{\frac{metro}{{tu}_{mi F}^{″} (r_{0})}} = 2 π \sqrt{\frac{F (r_{0})}{3 F (r_{0}) + r_{0} F^{'} (r_{0})}} .

$\Delta\phi=2\pi\sqrt{\frac{m}{U_{ef}''(r_0)}}=2\pi\sqrt{\frac{F(r_0)}{3F(r_0)+r_0F'(r_0)}}.$ Si

Δ ϕ = 2 π

$\Delta\phi=2\pi$ significa que la partícula gira exactamente una vez durante una oscilación radial. No hay precesión. Es conveniente definir el ángulo precedido por

Φ = Δ ϕ - 2 π

$\Phi=\Delta\phi-2\pi$ y la velocidad de esta precesión,

Ω = \frac{Φ}{T_{r}} .

$\Omega=\frac{\Phi}{T_r}.$

El resultado concreto

Nos queda calcular la fuerza total sobre Mercurio que descompongo como

F (r) = F_{0} (r) + F_{pags} (r),

$F(r)=F_0(r)+F_p(r),$ dónde

F_{0}

$F_0$ es la fuerza debida a la Suma y

F_{p}

$F_p$ es la pequeña fuerza (perturbativa) debida a los otros planetas. El mejor cálculo que he visto de

F_{p}

$F_p$ se presenta en

Price, Rush - Contribución no relativista a la precesión del perihelio de Mercurio - AJP 47, 531 (1979);

La idea es que dado que la precesión es demasiado lenta (295000 años para una revolución completa) en comparación con el período de revolución de los cuerpos del sistema solar, los otros planetas actúan efectivamente como un anillo uniforme de masa. Nótese que esto sólo se refiere a la precesión de Mercurio. Siguiendo el papel es bastante fácil calcular la fuerza de un anillo. $i$ de densidad $\lambda_i$ y radio $R_i$ hace en Mercurio que se encuentra en $r$ . La fuerza total debida a todos los demás planetas dice

F_{pags} (r) = \sum_{i} \frac{GRAMO metro π λ r}{R_{i}^{2} - r^{2}} .

$F_p(r)=\sum_i\frac{Gm\pi\lambda r}{R_i^2-r^2}.$ notando que

r_{0} F_{0}^{'} (r_{0}) = - 2 F_{0} (r_{0})

$r_0F_0'(r_0)=-2F_0(r_0)$ y usando estas expresiones en la forma general de

Δ ϕ

$\Delta\phi$ arriba obtenemos

Δ ϕ = 2 π {[\frac{F_{0} (r_{0}) + F_{pags} (r_{0})}{F_{0} (r_{0}) + 3 F_{pags} (r_{0}) + r_{0} F_{pags}^{'} (r_{0})}]}^{1 / 2} .

$\Delta\phi=2\pi\left[\frac{F_0(r_0)+F_p(r_0)}{F_0(r_0)+3F_p(r_0)+r_0F_p'(r_0)}\right]^{1/2}.$ Ya que

| F_{p} (r_{0}) | \approx | r_{0} F_{p}^{'} (r_{0}) | ≪ | F_{0} (r_{0}) |

$|F_p(r_0)|\approx |r_0F_p'(r_0)|\ll |F_0(r_0)|$ podemos expandir Taylor hasta primer orden en

F_{p} (r_{0}) / F (r_{0})

$F_p(r_0)/F(r_0)$ y

F_{p}^{'} (r_{0}) / F (r_{0})

$F_p'(r_0)/F(r_0)$ , es decir

Δ ϕ = 2 π [1 - \frac{F_{pags} (r_{0})}{F (r_{0})} - \frac{r_{0} F_{pags}^{'} (r_{0})}{F (r_{0})}] .

$\Delta\phi=2\pi\left[1-\frac{F_p(r_0)}{F(r_0)}-\frac{r_0F_p'(r_0)}{F(r_0)}\right].$ Por lo tanto, el ángulo de precesión es

Φ = - \frac{F_{pags} (r_{0})}{F (r_{0})} - \frac{r_{0} F_{pags}^{'} (r_{0})}{F (r_{0})} .

$\Phi=-\frac{F_p(r_0)}{F(r_0)}-\frac{r_0F_p'(r_0)}{F(r_0)}.$ Introduciendo los datos astronómicos y dividiendo por el año sideral de Mercurio obtenemos la tasa de precesión

Ω = 7.060 \cdot 10^{- 8} r a d pags mi r d a y,

$\Omega=7.060\cdot 10^{-8}\, \mathrm{rad\ per\ day},$ o

Ω \approx 532 a r C s mi C o norte d s pags mi r C mi norte t tu r y .

$\Omega\approx 532\, \mathrm{arcseconds\ per\ century}.$

+1, realmente aprendí algo de la segunda sección: qué elegante. Al igual que el OP, probablemente no sabría por dónde empezar, e imaginé que sería un recuento detallado de las fuerzas de los planetas por separado durante largos períodos de tiempo. Esa visión rápida en comparación con la precesión para reemplazar los planetas con anillos es maravillosa.
@WetSavannaAnimalakaRodVance En mi humilde opinión, la belleza del resultado general es que no especifica la naturaleza de la perturbación $F_p$ . si uno usa $F_p=\beta/r^ 3$ uno obtiene los 43 segundos de arco por siglo de GTR.
Por cierto, creo que hay un factor de $\dot{\phi}$ después del primer signo igual en la última ecuación para $\Delta\phi$ en la sección "Resultado General". Pero todo está bien después del segundo signo igual.
... un factor de $\dot{\phi}$ falta ... Hay algún tipo de ironía aquí :-)

Detalles de la predicción newtoniana para la precesión de Mercurio

Tomás Smith

dmckee --- gatito ex-moderador

HDE 226868

Tomás Smith

usuario16622

Tomás Smith

usuario16622

Respuestas (1)

Diracología

el resultado general

El resultado concreto

Selene Routley

Diracología

NickD

NickD

NickD

Permanecer en órbita, pero ¿cualquier perturbación no inicia una retroalimentación positiva?

¿Existen fuentes fiables sobre el movimiento del Sistema Solar a través de la Vía Láctea?

¿Por qué los sistemas estelares son planos pero los planetas son esféricos?

Advenimiento de nuestro sistema solar

Encontrar la esfera de influencia en un sistema multicuerpo

¿Dónde puedo encontrar material educativo accesible sobre la formación del sistema solar?

¿Cuáles son las energías de enlace gravitacional de los planetas gigantes?

¿Por qué el centro de la precesión axial de la Tierra es perfectamente perpendicular a la eclíptica? (¿Lo es?)

¿Está aumentando la distancia entre el Sol y la Tierra?

¿Cuál es la definición precisa de esfera de influencia gravitacional (SOI)?