¿Qué diferentes aproximaciones producen el gravitoelectromagnetismo y las ecuaciones de Einstein de campo débil?

1. En esta respuesta, adoptamos el punto de vista de que las ecuaciones GEM no son un primer principio por sí mismas, sino que solo pueden justificarse a través de un límite apropiado (a determinar) de la EFE linealizada $^1$en 3+1D

   $$\begin{align} \kappa T^{\mu\nu}~\stackrel{\text{EFE}}{=}~& G^{\mu\nu}\cr ~=~&-\frac{1}{2}\left(\Box \bar{h}^{\mu\nu} + \eta^{\mu\nu} \partial_{\rho}\partial_{\sigma} \bar{h}^{\rho\sigma} - \partial^{\mu}\partial_{\rho} \bar{h}^{\rho\nu} - \partial^{\nu}\partial_{\rho} \bar{h}^{\rho\mu} \right) ,\cr \kappa~\equiv~&\frac{8\pi G}{c^4}, \end{align}\tag{1}$$ dónde $$\begin{align}g_{\mu\nu}~&=~\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \cr \bar{h}_{\mu\nu}~:=~h_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h \qquad&\Leftrightarrow\qquad h_{\mu\nu}~=~\bar{h}_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\bar{h}. \end{align} \tag{2}$$

2. Puede haber otros enfoques que no conocemos, pero al leer la Ref. 1, el límite GEM pertinente parece ser de naturaleza estática E&M, por lo que aparentemente excluye las ondas/radiación gravitacionales.

3. Concretamente, se supone que la materia es polvo :$^2$

   $$T^{\mu 0}~=~cj^{\mu}, \qquad j^{\mu}~=~\begin{bmatrix} c\rho \cr {\bf J} \end{bmatrix}, \qquad T^{ij}~=~{\cal O}(c^0). \tag{3}$$

4. La única forma de implementar sistemáticamente un sector temporal dominante/límite estático parece ser yendo al indicador de Lorenz$^3$

   $$\partial_{\mu} \bar{h}^{\mu\nu} ~=~0. \tag{4}$$ Entonces el EFE linealizado (1) se simplifica a $$G^{\mu\nu}~=~-\frac{1}{2}\Box \bar{h}^{\mu\nu}~=~\kappa T^{\mu\nu}. \tag{5}$$

5. En nuestra convención, el GEM ansatz dice$^5$

   $$\begin{align} A^{\mu}~=~&\begin{bmatrix} \phi/c \cr {\bf A} \end{bmatrix}, \qquad\bar{h}^{ij}~=~{\cal O}(c^{-4}),\cr -\frac{1}{4}\bar{h}^{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} \phi/c^2 & {\bf A}^T /c\cr {\bf A}/c & {\cal O}(c^{-4})\end{bmatrix}_{4\times 4}\cr ~\Updownarrow~& \cr -h^{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} 2\phi/c^2 & 4{\bf A}^T/c \cr 4{\bf A}/c & (2\phi/c^2){\bf 1}_{3\times 3}\end{bmatrix}_{4\times 4} \cr ~\Updownarrow~& \cr g_{\mu\nu} ~=~&\begin{bmatrix} -1-2\phi/c^2 & 4{\bf A}^T/c \cr 4{\bf A}/c & (1-2\phi/c^2){\bf 1}_{3\times 3}\end{bmatrix}_{4\times 4}. \end{align}\tag{6}$$

6. El calibre de Lorenz gravitacional (4) corresponde a la condición de calibre de Lorenz

   $$c^{-2}\partial_t\phi + \nabla\cdot {\bf A}~\equiv~ \partial_{\mu}A^{\mu}~=~0 \tag{7}$$ y el "límite electrostático"$^4$ $$\partial_t {\bf A}~=~{\cal O}(c^{-2}).\tag{8}$$

7. A continuación, defina la intensidad del campo.

   $$\begin{align} F_{\mu\nu}~:=~&\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}, \cr -{\bf E}~:=~&{\bf \nabla} \phi+\partial_t{\bf A}, \cr {\bf B}~:=~&{\bf \nabla}\times {\bf A}.\end{align} \tag{9}$$ Luego, los sectores tempotemporal y espaciotemporal del EFE linealizado (1) se convierten en las ecuaciones gravitacionales de Maxwell con fuentes $$\partial_{\mu} F^{\mu\nu}~=~\frac{4\pi G}{c}j^{\mu}. \tag{10}$$ Tenga en cuenta que el campo gravitatorio (eléctrico)${\bf E}$debe estar hacia adentro (hacia afuera) para una masa positiva (carga), respectivamente. Por esta razón, en esta respuesta/ Wikipedia , las ecuaciones de GEM (10) y las ecuaciones de Maxwell tienen opuestos$^5$señales.

8. Curiosamente, una transformación de calibre gravitacional de la forma

   $$\begin{align}\delta h_{\mu\nu}~=~&\partial_{\mu}\varepsilon_{\nu}+(\mu\leftrightarrow\nu), \cr \varepsilon_{\nu}~:=~&c^{-1}\delta^0_{\nu}~\varepsilon, \end{align}\tag{11}$$ lleva a $$\delta h~=~-2c^{-1}\partial_0\varepsilon \tag{12}$$ y por lo tanto a las transformaciones de calibre habituales $$\delta A_{\mu}~=~\partial_{\mu}\varepsilon.\tag{13}$$ Tales transformaciones de calibre (13) conservan las ecuaciones GEM. (10) pero violan el GEM ansatz$\bar{h}^{ij}={\cal O}(c^{-4})$a no ser que $$\partial_t\varepsilon~=~{\cal O}(c^{-2}).\tag{14}$$ En conclusión, la condición de calibre de Lorenz (7) no es necesaria, pero parece que estamos atrapados en el "límite electrostático" (8).

Referencias:

1. B. Mashhoon, Gravitoelectromagnetismo: una breve reseña, arXiv:gr-qc/0311030 .

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$^1$En esta respuesta usamos la convención de signos de Minkowski$(-,+,+,+)$y trabajar en el sistema SI. Índices espaciales$i,j,\ldots \in\{1,2,3\}$son letras romanas, mientras que los índices de espacio-tiempo$\mu,\nu,\ldots \in\{0,1,2,3\}$son letras griegas.

$^2$Advertencia: El$j^{\mu}$la corriente (3) no se transforma covariantemente bajo impulsos de Lorentz. Los marcos no inerciales que menciona Wikipedia son presumiblemente porque el$g_{\mu\nu}$-métrica (2) no es minkowskiana.

$^3$El calibre de Lorenz (4) es el calibre armónico/de Donder linealizado

$^4$No convencionalmente llamamos eq. (8) el "límite electrostático" ya que el término$\partial_t{\bf A}$entra en la definición (9) de${\bf E}$.

$^5$Advertencia: En Mashhoon (Ref. 1) las ecuaciones GEM (10) y las ecuaciones de Maxwell tienen el mismo signo. A modo de comparación, en esta respuesta Phys.SE