Linealización de la acción de Einstein-Hilbert; atajos?

Me interesa linealizar acciones que se construyen a partir de objetos geométricos. Con esto me refiero a perturbar la métrica (o vielbein) y mantener los términos de acción que son cuadráticos en la perturbación.

Para el propósito de esta pregunta, consideremos la bien conocida acción de Einstein-Hilbert,

$$S_{\text{EH}}=\kappa\int\text{d}^4x\sqrt{-g}R~.$$ y perturbar la métrica en torno a un fondo arbitrario, $$\tilde{g}_{mn}=g_{mn}+h_{mn}~,$$ dónde$g_{mn}$es la métrica de fondo y$h_{mn}$es la perturbación,$|h_{mn}|\ll 1$.

Como dije, necesitamos mantener los términos cuadráticos en la perturbación. Me parece que esto requeriría que expandiéramos la curvatura escalar$R$, y por lo tanto el tensor de Riemann$R_{kpmn}$al orden cuadrático. Expandirse a un orden lineal no es tan malo, pero expandirse a un orden cuadrático (particularmente alrededor de un fondo arbitrario y no plano) es una tarea bastante ardua. Así que me gustaría saber si hay una manera más fácil.

Sabemos que la ecuación de movimiento que debería resultar de la acción linealizada es

$$R_{ab}^{\text{lin.}}=0~.$$ Entonces, al expandir$R_{ab}$a orden lineal (mucho más fácil que expandir a segundo orden), podemos deducir que la variación de la acción (con respecto a la perturbación) es de la forma $$\delta S_{\text{EH}}^{\text{lin.}}=\kappa\int\text{d}^4x\sqrt{-g}\delta h^{ab}R_{ab}^{\text{lin.}}~.$$ Esto ya nos da cierta información sobre cómo debería verse la acción cuando se expande a segundo orden. Pero no estoy seguro de adónde tomarlo desde aquí, o si hay una manera aún más fácil de proceder.

¿Conoces algún atajo para obtener la expansión cuadrática de la acción? ¿Su método es aplicable a una gama más amplia de funcionales de acción (no solo EH)? Para fines ilustrativos, estaría bien si una respuesta se expandiera alrededor de un fondo plano.

Editar: vea los comentarios para obtener un poco más de detalles sobre lo que estoy buscando.