¿Cómo se deriva una teoría cuántica de campos a partir de una métrica del espacio-tiempo?

Question

¿Cómo se deriva una teoría cuántica de campos a partir de una métrica del espacio-tiempo?

Física
tensor-métrico
teoría linealizada
gravedad newtoniana
teoría cuántica de campos
qft-en-espacio-tiempo-curvo

Howard A. Landman

¿Cuáles son los primeros pasos para convertir una métrica en una teoría cuántica de campos? Sé aproximadamente qué hacer una vez que tengo un par de operadores que no viajan, pero ¿cómo llego a ese punto?

Específicamente, me gustaría comenzar con el campo débil ( $r \gg r_s$ ) baja velocidad ( $v = \frac{dr}{dt} \ll c$ ) límite de la métrica de Schwarzschild:

{d s}^{2} = - C^{2} {d t}^{2} + {d r}^{2} + r^{2} {d Ω}^{2} + 2 \frac{GRAMO METRO}{r} C^{2} {d t}^{2}

${ds}^2 = -c^2{dt}^2 + {dr}^2 + r^2{d\Omega}^2 + 2\frac{GM}{r}c^2{dt}^2$

que es el espacio-tiempo plano de Minkowski más la dilatación del tiempo, y da la gravedad newtoniana. (Es divertido notar que Misner-Thorne-Wheeler Gravitation establece ( en el Cuadro 12.2 en la p.296 ) que "no se puede definir una métrica del espacio-tiempo" para el espacio-tiempo newtoniano. Aparentemente, esta métrica viola una o más de sus suposiciones (vea el ejercicio 12.10) . ), como jugar bien con la derivada covariante. Esta métrica también se ignora casi por completo en la literatura de física; una excepción es que Sean Carroll la analiza brevemente en el Capítulo 4 de sus notas de clase en línea sobre GR, específicamente en torno a las ecuaciones 4.10 a 4.22 en páginas 105-106.)

Dado que toda la curvatura está en la dimensión del tiempo, ¿es probable que esto se encuentre con el problema de "no hay un operador de tiempo en la mecánica cuántica"?

Gradiente137

Comience por perturbar la métrica plana

g_{μ ν} = δ_{μ ν} + h_{μ ν}

$g_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$ . Utilice la perturbación como el campo.

Gradiente137

También aquí hay una buena fuente: weylmann.com/gravity_waves.pdf Habla sobre ondas gravitacionales, pero es un buen punto de partida.

Howard A. Landman

Bueno, en este caso la métrica plana son los primeros 3 términos del lado derecho, que dan un espacio-tiempo plano de Minkowski (en coordenadas esféricas). Entonces, la perturbación es solo el último término (el campo de dilatación del tiempo).

Respuestas (2)

¿Cómo se deriva una teoría cuántica de campos a partir de una métrica del espacio-tiempo?

Comience por perturbar la métrica plana $g_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$ . Utilice la perturbación como el campo.
También aquí hay una buena fuente: weylmann.com/gravity_waves.pdf Habla sobre ondas gravitacionales, pero es un buen punto de partida.
Bueno, en este caso la métrica plana son los primeros 3 términos del lado derecho, que dan un espacio-tiempo plano de Minkowski (en coordenadas esféricas). Entonces, la perturbación es solo el último término (el campo de dilatación del tiempo).

Vanguardia · Answer 1

La forma estándar (QFT) de cuantificar la gravedad es aplicando lo que se conoce como método de campo de fondo . Aquí escribes el tensor métrico $g_{\mu \nu}$ como una suma de algún espacio-tiempo de fondo clásico y una perturbación cuántica:

{gramo}_{m v} = {\bar{gramo}}_{m v} + h_{m v}

$g_{\mu \nu} = \bar{g}_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}$

Una acción (que contiene $g_{\mu \nu}$ ) luego se expande en una serie de Taylor de perturbaciones en $h_{\mu \nu}$ alrededor del fondo. A partir de esta expansión, puede leer las partes libres y de interacción de la teoría de la gravedad. A continuación, puede utilizar el método de integral de trayectoria para calcular las amplitudes de dispersión. Así es como 't Hooft y Veltman demostraron en su artículo seminal, Divergencias de un bucle en la teoría de la gravitación , la renormalizabilidad de la relatividad general (o falta de ella).

Esta es solo la teoría de la perturbación y también se puede hacer la división métrica anterior en GR clásico, como se hace en la teoría de la perturbación cosmológica . Esto es lo que hace Carroll; donde se imponen algunas restricciones a las perturbaciones métricas para garantizar que uno permanezca en el régimen de gravedad débil y baja velocidad.

Aunque el problema del tiempo en la gravedad cuántica es fundamental, no tiene relación con el tema que mencionas. Carroll optó por imponer condiciones específicas a las perturbaciones métricas para mantenerse dentro del régimen mencionado anteriormente. Uno puede dejar de lado algunas (o todas) las restricciones y construir una teoría general de perturbaciones. Por ejemplo, en las notas de Carroll, eq. (6.29) muestra el elemento de línea que describe otra aproximación de campo débil al espacio plano, pero que permite que las velocidades de las partículas sean relativistas (que no era el caso antes). En este caso, vemos que hay componentes espaciales en la perturbación métrica, además del componente temporal que teníamos antes.

Nod, la métrica newtoniana (como la propia gravedad newtoniana) no es SR invariante. Para mantener la invariancia, NO debe tomar el límite de baja velocidad, lo que deja un término espacial que es menor o igual que el término de tiempo, con igualdad solo cuando v = c. Esa métrica obtiene la flexión de la luz correcta (= el doble de la predicción newtoniana).

acechador · Answer 2

La primera pregunta es: ¿asumimos que hay un solo QFT válido de una métrica determinada? Esta pregunta podría estudiarse observando el proceso dinámico que conduce a la métrica en cuestión, pero también cómo se empareja la métrica local con el vacío asintótico lejano de Minkowski o De-Sitter.

Suponiendo que ya lo haya descubierto, es posible que deba comenzar con el campo escalar regular de Klein-Gordon y escribir las transformaciones de Bogoliubov que conectan los modos cuánticos en la teoría asintótica con la que está familiarizado (ya sea el espacio-tiempo lejano de Minkowski o De-Sitter). ) con las modas en la vecindad de sus características métricas no triviales

En principio, tendría que hacer lo mismo con los campos de bosones vectoriales/Dirac, pero esto suele ser un procedimiento matemático complejo, y nunca lo he visto realizado en su totalidad.

El siguiente artículo es un trabajo sobre este tema de construir tales teorías dada la geometría de fondo: https://arxiv.org/abs/1407.3612

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Howard A. Landman

Gradiente137

Gradiente137

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Vanguardia

Howard A. Landman

acechador

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