¿Cómo puedo encontrar la métrica en el límite de campo débil para una teoría específica?

Los pasos habituales son:

1. Deriva las ecuaciones de Euler-Lagrange completas a partir del Lagrangiano de tu teoría. Habrá un análogo de la ecuación de Einstein (a partir de la variación de$\mathcal{L}$con respecto a la métrica) y algunas ecuaciones de movimiento para los otros campos$\Psi^\alpha$en tu teoría. No olvides variar los operadores derivados al tomar las variaciones con respecto a la métrica.

2. Encuentre una solución de fondo. Para "campo débil", generalmente queremos decir que la métrica es Minkowski ($g_{ab} = \eta_{ab}$). Si hay algún otro contenido de campo en su teoría, deberá asegurarse de que sus ecuaciones de movimiento también se obedezcan en el caso del espacio-tiempo plano. Esto implicará ciertas condiciones en los valores de fondo.$\bar{\Psi}^\alpha$de los otros campos. A menudo encontrará que los "valores de fondo" de los campos son$\bar{\Psi}^\alpha = 0$, pero en algunos casos (como la ruptura espontánea de la simetría) estos campos no desaparecerán en la solución de fondo.

3. Introduce el siguiente ansatz en las ecuaciones de movimiento (tanto métricas como de "materia"):

   $$g_{ab} = \eta_{ab} + \epsilon \eta_{ab} + \mathcal{O}(\epsilon^2), \qquad \Psi^\alpha = \bar{\Psi}^\alpha + \epsilon \psi_\alpha + \mathcal{O}(\epsilon^2).$$ Aquí,$\epsilon$es un parámetro que parametriza nuestras desviaciones de nuestra solución plana de "fondo". Cuando$\epsilon = 0$, recuperamos la solución de fondo; y el$\mathcal{O}(\epsilon)$términos en las ecuaciones de movimiento nos dan las ecuaciones linealizadas.

4. Escriba la ecuación métrica linealizada en términos de derivadas de tiempo y espacio de los componentes de los campos. Suponga que todas las derivadas temporales desaparecen. Si su teoría de la gravedad modificada no es demasiado vanguardista, el sistema de ecuaciones resultante dependerá de los campos de fondo.$\eta_{ab}$y$\bar{\Psi}^\alpha$y las perturbaciones métricas$h_{ab}$. En particular, el análogo de la ecuación de Poisson será lo que sus ecuaciones impliquen sobre el componente$h_{tt}$de la perturbación métrica.

Para obtener más información, consulte la Relatividad general de Wald para conocer los detalles matemáticos. (La teoría de la perturbación se cubre en la Sección 7.5, y cómo realizar variaciones con respecto a la métrica se cubre en la Sección E.1.) The Confrontation between General Relativity and Experiment de Clifford Will , y su libro anterior Theory and Experiment in Gravitational Physics , ambos tenga una buena exposición de cómo se pasa de una teoría de la gravedad modificada "completa" a una teoría cuasi-newtoniana o posnewtoniana.