Una pregunta desde la teoría de la perturbación cosmológica

Consideramos la siguiente perturbación escalar en la métrica FRW

$$ds^2=-(1+2\Phi)dt^2+2a(\partial_iB)dx^idt+a^2[(1-2\Psi)\delta_{ij}+2\partial_{ij}E]dx^idx^j,$$ dónde $\Phi$, $B$, $\Psi$y $E$son perturbaciones y $a$es el factor de escala.

Ahora considere una transformación de calibre (coordenadas):

$$t\rightarrow t+\alpha,\\\ x^i\rightarrow x^i+\delta^{ij}\partial_j\beta.$$ Se afirma que tenemos la transformada de perturbación métrica escalar como $$\Phi\rightarrow \Phi-\dot{\alpha},\tag{1}$$ $$B\rightarrow B+a^{-1}\alpha-a\dot{\beta},\tag{2}$$ $$E\rightarrow E-\beta,\tag{3}$$ $$\Psi\rightarrow \Psi+H\alpha.\tag{4}$$ $H$es la constante de Hubble.

He comprobado (1)~(3). Pero no puedo derivar la ecuación (4). La ecuación (4) incluso parece muy extraña si realizamos una verificación rápida, configurando$\alpha$ser una pequeña constante y$\beta=0$. Entonces nosotros tenemos

$$dt\rightarrow dt$$ $$dx^i\rightarrow dx^i.$$

¿Cómo puede la transformación de calibre anterior inducir un cambio de$\Psi$? Muchas gracias por su ayuda.

ahora entiendo donde$H\alpha$es desde. Es de$a^2(\tilde{t})=a^2(t)\left(1-H(t)\alpha(t)\right)$