Representando el espacio de Minkowski 1+1 como una superficie en el espacio euclidiano 3D

En el espacio de Minkowski 1+1 la distancia entre dos puntos viene dada por

( X 1 − X 2 ) 2 − ( t 1 − t 2 ) 2 .

Esto es diferente de la distancia euclidiana. Pero, ¿es posible crear una superficie 2D incrustada en un espacio euclidiano 3D tal que la distancia geodésica entre dos puntos en la superficie sea como la del espacio de Minkowski?

¿Cómo esperarías reproducir un cuadrado de distancia negativa en un espacio euclidiano?
¿Qué pasa con la parte positiva? O como dos superficies diferentes, una para el interior del cono de luz y otra para el exterior. (sin tener en cuenta el signo negativo en un caso)
Interesante pregunta. No tengo ni idea. Si los negativos están prohibidos, ¿qué tal ( ( X 1 − X 2 ) 2 − ( t 1 − t 2 ) 2 ) 2 . Además, ¿ en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem está relacionado en algún sentido?

Respuestas (1)

No, no es posible porque la métrica inducida en cualquier subvariedad norte del espacio euclidiano mi 3 está necesariamente definida positivamente, mientras que la métrica en 1 + 1 El espacio de Minkowski es indefinido.

La razón es trivial: El producto escalar ⟨ tu , v ⟩ de dos vectores tu , v en norte es, por definición, el producto escalar en mi 3 de estos vectores vistos como vectores en mi 3 , de modo que ⟨ tu , tu ⟩ ≥ 0 -- dónde ⟨ tu , tu ⟩ = 0 implica tu = 0 -- en todo caso, al contrario de lo que puede ocurrir en las variedades lorentzianas.

Representando el espacio de Minkowski 1+1 como una superficie en el espacio euclidiano 3D
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