Expansión perturbativa de la métrica y su inversa

Una forma particularmente efectiva y rápida de escribir esto es escribir la métrica como$g=\eta+\kappa h$, de modo que

$$g^{-1}=(\eta+\kappa h)^{-1}=\eta^{-1}(\textbf{1}+\kappa h\eta^{-1})^{-1}$$

Entonces solo usamos la expansión.

$$(\textbf{1}+\epsilon\textbf{A})^{-1}=\textbf{1}-\epsilon\textbf{A}+\epsilon^2\textbf{A}^2+\cdots,$$

lo cual es válido para las matrices al igual que para los números. El resultado deseado se encuentra inmediatamente, así como los términos de orden superior.

Esta es una pregunta relativamente antigua que carece de una respuesta formalmente completa. Al encontrarme en la necesidad de la inversa de una métrica y al no poder encontrar un tratamiento adecuado en otro lugar (en la navegación casual), he decidido poner aquí un tratamiento formal adecuado.

Siguiendo el tratamiento dado aquí, uno puede derivar (súper) fácilmente la métrica inversa para todo el orden de la teoría de la perturbación sin usar relaciones ad-hoc. He organizado lo siguiente en tres pasos.

Paso - 1: Declaración correcta del problema

La métrica cuya inversa pretendemos determinar debe escribirse de manera más formal:

$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + \epsilon \ ^{(1)}h_{\mu\nu} + \frac{\epsilon^2}{2!} \ ^{(2)}h_{\mu\nu} + \cdots$$ Para mayor comodidad, trasladamos todas las perturbaciones a $H_{\mu\nu}$: $$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + H_{\mu\nu}$$

Esta forma de plantear el problema es esencialmente diferente a la indicada por OP en la pregunta. Espero que la notación no necesite ninguna explicación.

Paso 2: Y el inverso es

Escribamos la inversa como: b

$$g^{\mu\nu} = (g_{\mu\nu})^{-1}$$ $$= \eta^{\mu \alpha} \ (\delta{^\alpha_\nu} + \eta^{\alpha\beta}H_{\beta\nu})^{-1}$$

Primero observamos que podemos contraer la métrica de fondo dentro de los corchetes:$H{^\alpha_\nu} = \eta^{\alpha\beta}H_{\beta\nu}$. Además, para lidiar con los corchetes, como sugirió Bob en otra respuesta, usamos la expansión binomial:

$$(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 -x^3 +\cdots$$

Y, tras unos pasos de gimnasia indexada llegamos a:

$$g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} - H^{\mu\nu} + H^{\mu\rho}H{_\rho^\nu} - H^{\mu\rho}H{_\rho^\beta}H{_\beta^\nu} + \cdots$$

¿Terminamos?

Paso 3: El parámetro de expansión

La belleza de este arreglo radica en la siguiente realización:

$$H^{\mu\nu} \xrightarrow{\text{can only give rise to terms with}} \epsilon^1, \epsilon^2, \epsilon^3 \cdots$$ $$H^{\mu\rho}H{_\rho^\nu} \xrightarrow{\text{can only give rise to terms with}} \epsilon^2, \epsilon^3, \epsilon^4 \cdots$$ $$H^{\mu\rho}H{_\rho^\beta}H{_\beta^\nu}\xrightarrow{\text{can only give rise to terms with}} \epsilon^3, \epsilon^4, \epsilon^5 \cdots$$

Por lo tanto, para llegar a una expresión útil de la inversa, debemos ordenar la inversa en potencias de$\epsilon$.

Trabajando un poco, obtenemos los siguientes términos en orden$\epsilon^n$:

(tenga en cuenta que el signo general proviene de la última ecuación en el paso 2)

1. $n=0$ $$\frac{1}{0!}(\eta^{\mu \nu}$$
2. $n=1$ $$\frac{1}{1!}(- h^{1\mu \nu})$$
3. $n=2$ $$\frac{1}{2!}(2 h^{1}{}_{a}{}^{\nu} h^{1\mu a} - h^{2\mu \nu})$$
4. $n=3$ $$\frac{1}{3!}( -6 h^{1}{}_{a}{}^{b} h^{1}{}_{b}{}^{\nu} h^{1\mu a} + 3 h^{1\mu a} h^{2}{}_{a}{}^{\nu} + 3 h^{1}{}_{a}{}^{\nu} h^{2\mu a} - h^{3\mu \nu})$$

Como debería ser obvio al seguir cuidadosamente el tratamiento anterior, la respuesta final claramente se ve así:

$$g^{\mu\nu} = \eta^{\mu \nu} - \epsilon h^{1\mu \nu} + \tfrac{1}{2} \epsilon^2 (2 h^{1}{}_{a}{}^{\nu} h^{1\mu a} - h^{2\mu \nu}) + \tfrac{1}{6} \epsilon^3 (-6 h^{1}{}_{a}{}^{b} h^{1}{}_{b}{}^{\nu} h^{1\mu a} + 3 h^{1\mu c} h^{2}{}_{c}{}^{\nu} + 3 h^{1}{}_{d}{}^{\nu} h^{2\mu d} - h^{3\mu \nu})$$

Por ejemplo, en la teoría de ondas gravitacionales para construir el tensor de impulso de pseudoenergía a la Issacson, en realidad necesita un fondo genérico perturbado de segundo orden. Así que déjalo ser$g_{ab}(\lambda)$una familia de parámetros en la forma en que

$$g_{ab}(\lambda)=\tilde{g}_{ab}+\lambda h^{1}_{ab}+\frac{\lambda^2}{2!} h^2_{ab}$$ entonces claramente la inversa va a estar dada por $$g^{ab}\equiv(g_{ab}(\lambda))^{-1}$$ así que en el primer orden en$\lambda$el tenemos que realizar la primera derivada con respecto al parámetro $$\frac{d}{d\lambda}(g_{ab}(\lambda))^{-1}\lvert_{\lambda=0}=-\tilde{g}^{ac}\tilde{g}^{bd}h^1_{cd}=-h^{ab}$$ de la misma manera para segundo orden en$\lambda$necesitas la segunda derivada $$\frac{d^2}{d\lambda^2}(g_{ab}(\lambda))^{-1}\lvert_{\lambda=0}=-\left(\frac{d}{d\lambda}(g_{ab}(\lambda))^{-2}\frac{d}{d\lambda}g_{ab}(\lambda)+(g_{ab})^{-2}\frac{d^2}{d\lambda^2}g_{ab}(\lambda)\right)\lvert_{\lambda=0}$$ dónde $$\frac{d^2}{d\lambda^2}g_{ab}(\lambda) = \frac{d}{d \lambda} (h^{1}_{ab} + 2 \cdot \frac{1}{2!} \lambda h^2_{ab}) = h^2_{ab}.$$ Por lo tanto $$\frac{d^2}{d\lambda^2}(g_{ab}(\lambda))^{-1}\lvert_{\lambda=0} =-\left( -2\tilde{g}^{af}\tilde{g}^{bg}\tilde{g}^{cd}h^1_{fc}h^1_{dg}+\tilde{g}^{ac}\tilde{g}^{bd}h^{2}_{cd} \right)$$ $$=2h^{1ac}h^{1b}_c-h^{2ab}$$

entonces, para construir la métrica inversa completa hasta el segundo orden, necesita esta forma genérica

$$g^{ab}(\lambda)=g^{ab}(0)+\frac{d}{d\lambda}(g^{ab}(\lambda))\lvert_{\lambda=0}+\frac{1}{2}\frac{d^2}{d\lambda^2}(g^{ab}(\lambda))\lvert_{\lambda=0}$$

tapando las cantidades que ya hemos calculado se obtiene

$$g^{ab}(\lambda)=\tilde{g}^{ab}-\lambda h^{1ab}+\lambda^2(h^{1ac}h^{1b}_c-\frac{1}{2}h^{2ab})$$ una verificación que debe hacer para mantener todo en orden es, por ejemplo, verificar la relación delta común con la métrica total

$$g^{ac}(\lambda)g_{cb}(\lambda)=\delta^a_b$$

Para su métrica de fondo de Minkowski:

$$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+\kappa h_{\mu\nu}$$

Tenemos que la perturbación se puede escribir como:

$$\delta g_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-\eta_{\mu\nu}=\kappa h_{\mu\nu}$$

También sabemos que, a primer orden:

$$g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-\kappa h^{\mu\nu}$$

Ahora queremos encontrar su forma covariante, que dice así:

$$\delta g^{\mu\nu}=-g^{\mu\lambda}\delta g_{\lambda\rho}g^{\rho\nu}$$

Ahora simplemente sustituya en esta ecuación de nuestras otras ecuaciones:

$$=-\left(\eta^{\mu\lambda}-\kappa h^{\mu\lambda}\right)\left(\kappa h_{\lambda\rho}\right)\left(\eta^{\rho\nu}-\kappa h^{\rho\nu}\right)$$

Eliminando el término de tercer orden obtenemos:

$$=-\kappa h^{\mu\nu}+\eta^{\mu\lambda}\kappa h_{\lambda\rho}\kappa h^{\rho\nu}+\kappa h^{\mu\lambda}\kappa h_{\lambda\rho}\eta^{\rho\nu}$$

$$=-\kappa h^{\mu\nu}+\kappa h_{\rho}^{\mu}\kappa h^{\rho\nu}+\kappa h^{\mu\lambda}\kappa h_{\lambda}^{\nu}\eta$$ Dado que la métrica debe ser simétrica, la perturbación también debe serlo, por lo que podemos escribir:

$$\delta g^{\mu\nu}=-\kappa h^{\mu\nu}+2\kappa h_{\rho}^{\mu}\kappa h^{\rho\nu}$$

Ahora obtuve un factor de 2 diferente de su referencia, que creo que se puede eliminar aplicando el requisito para la métrica total:

$$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=\delta_{\mu}^{\mu}$$ Pero creo que entiendes la idea, es un proceso que crece escandalosamente en tedioso con cada orden superior. ¡¡Salud!! (: