Límite inferior para el factorial descendente (2n)n(2n)n(2n)_{n}

Question

Límite inferior para el factorial descendente (2n)n(2n)n(2n)_{n}

factorial
asintóticos
Matemáticas
combinatoria

Ari

Estoy buscando un límite inferior para el factorial descendente

(2 norte)_{norte} := \frac{(2 norte)!}{norte!}

$(2n)_{n}:= \frac{(2n)!}{n!}$

vi en wikipedia que $n! > \sqrt{2{\pi}n}(\frac{n}{e})^n$ . Así que asumo que un posible límite inferior podría ser

\frac{\sqrt{4 π norte} {(\frac{2 norte}{mi})}^{2 norte}}{\sqrt{2 π norte} (\frac{norte}{mi})^{norte}} = \sqrt{2} {(\frac{2 norte}{mi})}^{2 norte} {(\frac{norte}{mi})}^{- norte}

$\frac{\sqrt{4{\pi}n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{\sqrt{2{\pi}n}(\frac{n}{e})^n}={\sqrt{2}}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}\left(\frac{n}{e}\right)^{-n}$

pero no estoy seguro de si este es un límite inferior adecuado porque el denominador de la LHS depende de $n$ y puede estar más cerca de $n!$ que el numerador es a $(2n)!$ haciendo el cociente mayor que el verdadero valor de $(2n)_n$ . Tampoco sé si el límite citado en Wikipedia es correcto.

Gracias por tu ayuda.

Respuestas (3)

Límite inferior para el factorial descendente (2n)n(2n)n(2n)_{n}

Jack D´Aurizio · Answer 1

Tenemos, por suma por partes:

registro \frac{(2 norte)!}{norte!} = \sum_{k = 1}^{norte} registro (norte + k) = norte registro (2 norte) - \sum_{k = 1}^{norte - 1} k registro (1 + \frac{1}{norte + k})

$\log\frac{(2n)!}{n!} = \sum_{k=1}^{n}\log(n+k)= n\log(2n)-\sum_{k=1}^{n-1} k \log\left(1+\frac{1}{n+k}\right)$ y desde

\log (1 + z) < z

$\log(1+z)<z$ para positivo

z

$z$ resulta que:

registro \frac{(2 norte)!}{norte!} \geq norte registro (2 norte) - \sum_{k = 1}^{norte - 1} \frac{k}{norte + k} = norte registro (2 norte) - (norte - 1) + norte \sum_{k = 1}^{norte - 1} \frac{1}{norte + k}

$\log\frac{(2n)!}{n!} \geq n\log(2n)-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{n+k}=n\log(2n)-(n-1)+n\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n+k}$ o:

registro \frac{(2 norte)!}{norte!} \geq norte registro (2 norte) - norte + 1 + norte (H_{2 norte - 1} - H_{norte}) .

$\log\frac{(2n)!}{n!} \geq n\log(2n)-n+1+n(H_{2n-1}-H_{n}).$

Como alternativa, puedes usar la desigualdad de Stirling:

${(\frac{norte}{mi})}^{norte} \sqrt{2 π norte} Exp (\frac{1}{12 norte + 1}) \leq norte! \leq {(\frac{norte}{mi})}^{norte} \sqrt{2 π norte} Exp (\frac{1}{12 norte}) .$ $\left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}\exp\left(\frac{1}{12n+1}\right)\leq n! \leq \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n}\exp\left(\frac{1}{12n}\right).$

Marco Cantarini · Answer 2

Por aproximación de Stirling

\sqrt{2 π} \frac{{norte}^{(norte + 1) / 2}}{{mi}^{norte}} \leq norte! \leq \frac{{norte}^{(norte + 1) / 2}}{{mi}^{norte - 1}}

$\sqrt{2\pi}\frac{n^{(n+1)/2}}{e^{n}}\leq n!\leq\frac{n^{(n+1)/2}}{e^{n-1}}$ entonces

\frac{(2 norte)!}{norte!} \geq \frac{\sqrt{2 π} \frac{{(2 norte)}^{(2 norte + 1) / 2}}{{mi}^{2 norte}}}{\frac{{norte}^{(norte + 1) / 2}}{{mi}^{norte - 1}}} = \frac{\sqrt{2 π}}{mi} \frac{{(2 norte)}^{(2 norte + 1) / 2}}{{mi}^{2 norte}} \frac{{mi}^{norte}}{{norte}^{(norte + 1) / 2}} = \frac{\sqrt{2 π}}{mi} 2^{(2 norte + 1) / 2} {norte}^{norte / 2} {mi}^{- norte} .

$\frac{\left(2n\right)!}{n!}\geq\frac{\sqrt{2\pi}\frac{\left(2n\right)^{(2n+1)/2}}{e^{2n}}}{\frac{n^{(n+1)/2}}{e^{n-1}}}=\frac{\sqrt{2\pi}}{e}\frac{\left(2n\right)^{(2n+1)/2}}{e^{2n}}\frac{e^{n}}{n^{(n+1)/2}}=\frac{\sqrt{2\pi}}{e}2^{(2n+1)/2}n^{n/2}e^{-n}.$

Crostul · Answer 3

Esta es una estimación aproximada, sin embargo, es más simple que las otras.

Desde

\underset{norte \to \infty}{límite} {(\frac{4 norte}{mi})}^{- norte} \frac{(2 norte)!}{norte!} = \sqrt{2}

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{4n}{e} \right)^{-n} \frac{(2n)!}{n!} = \sqrt{2}$ Puedes aproximar

\frac{(2 norte)!}{norte!} \sim \sqrt{2} {(\frac{4 norte}{mi})}^{norte}

$\frac{(2n)!}{n!} \sim \sqrt{2} \left( \frac{4n}{e} \right)^{n}$ Entonces, por ejemplo, puedes decir

\frac{(2 norte)!}{norte!} \geq {(\frac{4 norte}{mi})}^{norte}

$\frac{(2n)!}{n!} \geq \left( \frac{4n}{e} \right)^{n}$ para

n

$n$ lo suficientemente grande.

Gracias por tu respuesta más simple. ¿Puedes explicar por qué el límite es $\sqrt{2}$ ? ¿O es simplemente un resultado bien conocido que es difícil de derivar?
Se puede demostrar utilizando la fórmula de Stirling u otros métodos. Como puede ver, en su pregunta hay una fórmula equivalente a la fórmula que escribí.

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