Límite sin masa al escalar masivo en el espacio AdS

Normalmente trabajo en el parche de Poincaré para el que el elemento de línea es

$$ds^2 = {{d {\vec x}^2 + dz^2} \over {z^2}} \ .$$ Dada la invariancia de traducción en $x$, entonces se puede asumir una solución de la forma $\phi(\vec x,z) = e^{i \vec k \cdot \vec x } f(z)$. La ecuación de onda para un escalar masivo en $d+1$el espacio dimensional de AdS luego se reduce a $$z^{d+1} \partial_z z^{-d+1} \partial_z f(z) - z^2 \vec k^2 f(z) - m^2 f(z) = 0 \ .$$ El comando Mathematica

DResolver[z^(d + 1) D[z^(-d + 1) f'[z], z] - z^2 k^2 f[z] - m^2 f[z] == 0, f[z], z]

producirá una respuesta en términos de funciones de Bessel para general$m$y para$m=0$.

No estoy del todo seguro de qué divergencias tiene en mente el interrogador. El formulario específico para$\phi$por supuesto dependerá del sistema de coordenadas utilizado. En el parche de Poincaré, en un escenario euclidiano y en el escenario lorentziano para espacio-como$\vec k$, habrá una divergencia exponencial en general$z$para una de las dos soluciones. Tanto en el escenario lorentziano como en el euclidiano, en pequeñas$z$, hay genéricamente dos comportamientos,$z^\Delta$y$z^{d-\Delta}$donde elijo$\Delta$ser la mayor de las dos soluciones de la ecuación cuadrática$\Delta(\Delta-d) = m^2$, asumiendo$m^2 \geq - d^2/4$(el llamado límite Breitenlohner-Freedman). En el caso sin masa, estas dos caídas son$\Delta = d$y$d-\Delta = 0$. la caída$z^{d-\Delta}$es entonces divergente en el sentido de que$\phi$ya no es normalizable debido a su comportamiento en$z=0$.