¿Por qué necesitamos una condición de contorno en las teorías cuánticas de campos?

Cuando discutimos la teoría cuántica de campos definida en variedades con un límite, siempre elegimos una condición de límite para los campos. Y el argumento generalmente dice que necesitamos la condición de contorno para tener un problema variacional bien definido .

Sin embargo, lo que realmente queremos es un espacio de Hilbert bien definido . ¿Cómo podemos ver la conexión entre estas dos cosas aparentemente diferentes?

La pregunta anterior tiene sentido para las teorías cuánticas de campos definidas a través de una acción clásica. Si consideramos teorías cuánticas de campos más generales sin referirnos a la acción, ¿por qué necesitamos una condición límite para que la teoría esté bien definida?

tal vez mi respuesta aquí a una pregunta diferente de "por qué" ayude a physics.stackexchange.com/questions/230703/… . Por qué las preguntas terminan en suposiciones axiomáticas fundamentales impuestas por los datos y la necesidad de predictibilidad de nuevos datos, para que una teoría de la física sea validada.
Su pregunta debe ser respondida por teóricos, ya que se trata de la compatibilidad de dos formulaciones matemáticas para una teoría de campo. Solo estoy agregando que las condiciones de contorno son fundamentales para elegir entre la plétora de configuraciones matemáticas, el subconjunto que se ajusta a los datos físicos y es importante para la validación. también prediciendo nuevos datos.

Respuestas (1)

Bueno, si quiere pensar en QFT en su formulación más general, diría que no se trata tanto de que deba elegir las condiciones de contorno, sino que puede .

Dejar H b sea ​​el espacio de Hilbert asociado a una condición de contorno b . Si no desea imponer condiciones de contorno, puede declarar que su espacio de Hilbert es

H = ⨂ b H b
donde la suma es sobre todas las condiciones de contorno admisibles que le pueden interesar. (Por ejemplo, si está tratando con una CFT, es posible que desee sumar sobre las bc que solo son conformes, etc.)

Entonces, técnicamente, no necesita especificar una condición de contorno. podrías irte b arbitrario, simplemente permitiendo todas y cada una de las condiciones de contorno.

Pero, el aspecto interesante es que puede elegir una condición límite. En lugar de trabajar con el espacio de Hilbert absurdamente grande H , puede seleccionar constantemente un espacio más pequeño H b . Esto no es algo que pueda hacer en general: si comienza con algún espacio de Hilbert, normalmente no puede seleccionar un espacio más pequeño y aún así obtener una teoría consistente. Un subespacio de una teoría no suele darte una buena teoría por sí mismo: puedes perder unitaridad/localidad/causalidad, el subespacio puede no conservar todas las simetrías que necesitas (p. ej., Poincaré), etc. La afirmación es que, para el límite condiciones, el espacio H b ∈ H te da una buena teoría por sí mismo.

En este sentido, puede pensar en las condiciones de contorno como si le dieran "componentes irreducibles" de una QFT, similar a lo que hacen las representaciones irreducibles con las representaciones generales. Las reps no tienen por qué ser irreducibles, pero es útil trabajar con irreps porque cualquier otra puede escribirse como una suma de estas. Y los irreps no se pueden subdividir más, por lo que son mínimos. De manera similar, puede dejar los bc sin especificar, pero es útil trabajar con bc específicos porque los QFT sin bc se pueden considerar como una colección de QFT con bc.

¡Gracias por la buena respuesta! ¿Puedo hacer una pregunta de seguimiento con respecto a los problemas de simetrías (de calibre)? Para ser concreto, tome la teoría pura de Maxwell 1+1d en un intervalo de línea. Diferentes elecciones de condiciones de contorno pueden romper la simetría de calibre original de manera diferente. Es un poco raro combinar estos H b por una suma directa, ya que cada uno de ellos respeta una simetría de calibre diferente. ¿Cómo entenderé esto?
Creo que querías escribir una suma directa ⊕ , no el producto tensorial ⊗ .
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