¿Por qué no consideramos la teoría de la representación de grupos de isometría de espacio-tiempo en QFT curvo?

Primero, el espacio curvo general no tiene isometrías en absoluto (además, la variedad no tiene que tener una métrica, que por supuesto es necesaria para definir isometrías), mientras que tiene todos los objetos geométricos que mencionó: campos escalares, vectores , tensores de rango arbitrario y espinores si la variedad es espín . No hay razón para restringirnos a representaciones de grupos de isometría, y normalmente no se hace. Digamos, es muy poco común pensar en varios objetos que viven en$S^2$en cuanto a las representaciones de$SO(3)$grupo que es el grupo de isometría de este espacio.

En segundo lugar, el ejemplo canónico de la correspondencia AdS/CFT trata de$AdS_5 \times S^5$espacio que no es máximamente simétrico (mientras que los factores sí lo son). El grupo de isometría de este espacio es$SO(4,2) \times SO(6)$que corresponde al grupo conforme del espaciotiempo$SO(4,2)$de SYM, y su grupo de simetría R$SO(6)$. Trabajando con esta correspondencia, se utiliza extensivamente las representaciones de ambos grupos. La correspondencia holográfica se puede formular para espacios menos simétricos a fin de considerar QFT de límite menos simétricos. Para ser más precisos, uno tiene que deformar$AdS_5$para romper la invariancia conforme, es decir, para permitir que la teoría fluya bajo el grupo RG, y para deformar$S^5$para romper${\cal N}=4$SUSY a la más pequeña. Puede encontrar una discusión detallada de todos estos temas (y muchos más) en la revisión clásica de AdS/CFT .