Parejas sentadas alrededor de 2 mesas

Aquí está mi pregunta y posible respuesta.

¿De cuántas maneras posibles puedes acomodar 8 parejas casadas entre 2 mesas circulares de 8 sillas idénticas cada una de manera que:

1) cada pareja debe sentarse en la misma mesa, y,

2) en cada mesa, hombres y mujeres deben sentarse en sillas adyacentes (NOTA: una pareja puede sentarse uno al lado del otro pero no es obligatorio).

Mi solución:

Número de formas = (número de formas de dividir 8 parejas en 2 mesas de 4 parejas cada una) * (número de arreglos en cada mesa)

= 8 ! 4 ! 4 ! ∗ (4 hombres y 4 mujeres sentados alternativamente de 2 maneras)

= 8 ! 4 ! 4 ! ⋅ 4 ! ⋅ 4 ! ⋅ 2

= 2 ∗ 8 !

Siento que me equivoco en esto.

¿Alguien puede verificar esta solución o proporcionar la correcta?

Respuestas (2)

Primera seleccion 4 parejas fuera del 8 parejas para sentarse en una mesa: ( 8 4 )

Tenga en cuenta que esto también arreglará a las personas en la otra mesa. Ahora, si diferenciamos entre las dos tablas, entonces el número de formas de dividir el dieciséis gente entre las dos mesas es ( 8 4 ) (esa es la cantidad de formas de elegir a las personas para la mesa 1, fijando el resto para la mesa 2). Si no diferencia entre las tablas, divida esto por 2 .

Ahora organicemos a las personas. Calcularemos el número de maneras de sentar a las personas alrededor de una mesa y simplemente multiplicaremos por ese número nuevamente para la otra mesa al final.

Como es una mesa circular con sillas idénticas, 'anclaremos' los asientos con 1 de las mujeres Luego, podemos sentar a las otras mujeres en 3 ! maneras relativas a esta mujer, y los hombres en 4 ! maneras.

Total:

( 8 4 ) ⋅ 3 ! ⋅ 4 ! ⋅ 3 ! ⋅ 4 !

Y nuevamente, si no diferencia entre las tablas, divida esto por 2

Supongamos que tenemos un origen desde donde comenzar a contar alrededor de una de las tablas, entonces esto clasificaría la cadena ABCDEFGH como diferente a BCDEFGHA, pero seguramente debido a la pregunta que detalla que las tablas son circulares, ¿son iguales? Todos están sentados al lado de las mismas personas a ambos lados. Además, puede dividir una pareja si hace las selecciones eligiendo primero a las mujeres y luego a los hombres. Sería mejor emparejar las parejas y elegir 4 parejas para sentarse en una mesa.
@JohnDoe Correcto, es por eso que obtienes 3 ! ⋅ 4 ! maneras de sentar a la gente alrededor de la mesa, en lugar de 4 ! ⋅ 4 ! . Me gusta tu idea de emparejar primero a los hombres y las mujeres, y luego sentarlos de a un par a la vez: ¡deberías crear tu propia respuesta usando ese método! Pero nota: obtendrás lo mismo 3 ! factor a la hora de sentar las 4 parejas alrededor de la mesa circular
Mi respuesta no está de acuerdo con la tuya por un factor de ( 8 4 ) , por cómo elegí las parejas. Estoy bastante seguro de que la mía es correcta, pero no dude en aclararme si me falta algo.
@JohnDoe No verifiqué la respuesta de la gira, ¡pero mi respuesta ciertamente es incorrecta! ¡Olvidé tener en cuenta el hecho de que una pareja necesita sentarse en la misma mesa!
¡Ah, sí, por eso el mío es diferente! El nuestro debería estar de acuerdo una vez que corrijas esto jaja
@JohnDoe OK, corregí el mío ... En realidad, todavía no estamos de acuerdo. Esta vez, estoy bastante seguro de que la mía es correcta, ya que explicaste dos veces la simetría rotacional (primero sentando a una sola persona primero y luego dividiendo por 8 )
Cuando senté a la primera persona primero, les di 8 opciones, que es lo que dividí después, por lo que cancelé a 144 maneras de sentar a la gente en una mesa, que es 4 ! ⋅ 3 ! = 24 × 6 = 144 . dividí por 8 después de calcular el 1152 para dar cuenta de esta simetría rotacional. ¡Nuestras respuestas sí están de acuerdo ahora!
@JohnDoe ¡Ah, cierto! no vi eso primero 8 ... ¡Realmente necesito limpiar mis lentes! :P ¡Me alegra que estemos de acuerdo!

Como lo haría:

¿De cuántas maneras puedes dividir las 8 parejas en dos grupos de 4? Eso es ( 8 4 ) = 70 .

Luego, una vez divididos, tiene 4 hombres, 4 mujeres que deben sentarse en una de las mesas, en orden alterno. La primera persona sentada tiene 8 opciones, luego las otras personas del mismo género tienen 3,2,1 opciones después. Mientras tanto, para el género opuesto, tienen 4,3,2,1 opciones para sus selecciones. Así que en total, 8 × 4 × 3 × 3 × 2 × 2 = 1152 . Luego, para tener en cuenta la simetría rotacional, debemos dividir por 8 dar 144 maneras de disponer estas parejas en su mesa.

Entonces es lo mismo para la otra mesa, así que otra 144 maneras de organizarlos, por lo tanto 144 2 formas de disponer a todas las personas una vez elegidas las mesas para cada pareja.

Así que la respuesta general es

70 × 144 2 = 1 , 451 , 520

Genial, estoy de acuerdo con la solución! Sin embargo, vale la pena señalar que si fijas a una persona en un lugar en particular, evitas multiplicar y dividir por 8, ¿no crees?
Sí, multiplicar y dividir por 8 fue un poco inútil en esta pregunta. Supongo que podría ser útil verlo hecho así si alguna vez surgiera un ejemplo en el que se requería sentarse en una línea en lugar de en un círculo; entonces aún tendría que multiplicar por 8, pero como no hay simetría rotacional , no lo dividirías.
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