Comprender los corchetes de Poisson

En la mecánica cuántica, cuando dos observables conmutan, implica que los dos pueden medirse simultáneamente sin perturbar los resultados de medición del otro. O dicho de otro modo, la incertidumbre en sus medidas no están acopladas.

Pero en la mecánica clásica, de manera análoga, tenemos los corchetes de Poisson, donde cuando dos funciones/variables de los sistemas tienen un corchete de Poisson que se desvanece entre sí, decimos que están en "involución".

Entiendo que cuando una variable j tiene un corchete de Poisson que desaparece con el hamiltoniano del sistema, significa que j es una constante de movimiento, conservada en el tiempo. Pero para el caso general:

Si el corchete de Poisson de F y gramo desaparece ( { F , gramo } = 0 ), después F y gramo se dice que están en involución.

  • ¿Qué significa lo anterior físicamente? ¿Está relacionado de alguna manera con los resultados de la medición como lo está con los conmutadores en QM, lo que significa que dos variables en involución son completamente independientes entre sí?

  • Finalmente, ¿hay un ejemplo clásico simple, donde uno puede ver que 2 observables están en involución, pero otros 2 (mismo sistema) pueden no estarlo (es decir, un contraejemplo para la involución)? Creo que ayudaría a entender mejor lo que significa "involución".

Respuestas (1)

El paréntesis de Poisson clásico con el generador de cualquier transformación da la evolución infinitesimal con respecto a esa transformación. el conocido

∂ t F = { H , F }

significa nada más que la evolución temporal de cualquier observable viene dada por su paréntesis de Poisson con el hamiltoniano, que es el generador de la traslación temporal. Más generalmente, dado cualquier elemento gramo del álgebra de Lie de observables en el espacio fase, la evolución infinitesimal bajo la transformación que genera (parametrizada por un "ángulo" abstracto ϕ ) es dado por

∂ ϕ F = { gramo , F }

Lo que se quiere decir con esto es que cada observable F da lugar (por integración de Lie) a un simplectomorfismo mi X pags ( ϕ F ) en el espacio de fase (ya que la verdadera integración de Lie de los observables se proyecta sobreyectivamente sobre los simplectomorfismos). Más precisamente, la declaración anterior por lo tanto dice

∂ ϕ ( F ∘ mi X pags ( ϕ gramo ) ) | ϕ = 0 = { gramo , F }

por lo que la desaparición del corchete de Poisson implica F ∘ mi X pags ( ϕ gramo ) = F , es decir, la invariancia de lo observable bajo el simplectomorfismo inducido.

Por lo tanto, si el corchete de Poisson de F y gramo desaparece, eso significa que describen una transformación infinitesimal que es una simetría para el otro.

Por ejemplo, un observable es invariante bajo rotación si su corchete de Poisson con todos L i = ϵ i j k X j pags k (componentes de L → = X → × pags → ) desaparece.

Para X y pags , lo que no desaparece { X , pags } significa la intuición bastante trivial de que X no es invariante bajo las traslaciones generadas por el impulso.

Dato curioso: preguntarse cuál podría ser la integración real de Lie de estas simetrías infinitesimales conduce directamente al grupo de quantomorfismo , y es un punto de partida natural para la cuantización geométrica, como se explica en esta respuesta .

Respondiendo a la pregunta tangencial en un comentario:

Teniendo en cuenta la idea del invariante bajo generación, cuando se trata de aplicar el teorema de Noether, uno solo tiene que aplicar el corchete de Poisson del Lagrangiano (p. ej.) con X , y si desaparece la cantidad de movimiento se conserva para ese sistema?

No, significa que el "Lagrangiano" (realmente no puedes tomar el Lagrangiano, porque no es una función en el espacio de fase) es invariante al variar el momento del sistema (ya que X genera "traducciones" en el impulso). El equivalente hamiltoniano del teorema de Noether es simplemente que F se conserva si y solo si

{ H , F } = 0

ya que conservación significa invariancia bajo la evolución del tiempo.

@ user929304: actualizó la respuesta.
@user929304: El centro de un álgebra de Lie es el conjunto de todos X para cual [ X , a ] = 0 para todos a . Decir que es constante para el álgebra de observables significa que no hay funciones no triviales, es decir, no constantes, en el espacio de fases que estarían en involución con todas las demás. Es un hecho que para el álgebra en un espacio fase simpléctico, el centro debe ser constante. Uno puede generalizar la mecánica hamiltoniana a "espacios de fase" arbitrarios y el álgebra de Poisson sobre ellos, pero no soy un experto en eso. (Si puede hacer una buena pregunta a partir de esto, ¡hágala!)
Gracias, sí, ya veo, al menos ahora tengo una idea de lo que significa. Wow con su respuesta a esta publicación, y la intuición que ofreció me siento mucho mejor. Ahora veo mejor lo que significan los observables que están en involución (invariantes bajo la generación infinitesimal de cada uno), y cómo esto implica que el sistema hamiltoniano se puede descomponer en norte subsistemas independientes, por lo tanto integrables (asumiendo N observables en involución). ¿Cuál es la palabra correcta en mecánica clásica en lugar de "observable"? ese está tomado de QM, supongo.
@ user929304: De hecho, aprendí a llamar a las funciones diferenciables en los observables clásicos del espacio de fase , pero podría conformarse con funciones suaves .
OK gracias. Le agradezco que se haya tomado el tiempo de responder también a mis comentarios, ¡muy amable y considerado de su parte! Gracias de nuevo, saludos.
Estimado amigo, encontré donde había leído ese poco sobre espacios de fase simpléctica, simplemente fue aquí , segundo párrafo. ¿Sabes qué quiere decir el texto con conjuntos compactos de energía?
@user929304: un conjunto de niveles es solo un subconjunto { ( pags , q ) | F ( pags , q ) = C } en el espacio de fase para algunos observables F , y un conjunto de niveles de energía es solo eso para F = H . Compacto significa la propiedad topológica .
Comprender los corchetes de Poisson
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v