¿Por qué X^X^\hat X y P^P^\hat P no deberían conmutar en mecánica cuántica?

La idea se remonta a Heisenberg. Creía que la física solo podía describir cantidades que podían medirse experimentalmente y trató de desarrollar una teoría matemática que reflejara esto y predijera correctamente las intensidades relativas de las líneas espectrales.

En la física clásica, las intensidades radiadas dependen (en primera aproximación) de los dipolos eléctricos, que dependen de la posición de los electrones. Para explicar el hecho de que la posición de los electrones no se puede medir durante una transición, introdujo un número$x_{nm}$caracterizar la posición en la transición de$n\to m$. también introdujo$v_{nm}$para las velocidades de los electrones durante las transiciones y una aceleración relacionada$a_{nm}$.

Heisenberg finalmente pudo reproducir los niveles de energía$E_n$(en realidad sus diferencias$E_n-E_m$) usando estas cantidades, pero solo si las cantidades satisfacen las propiedades de combinación "inusuales"

La historia cuenta que Pascual Jordan conoció a Heisenberg en un tren en el momento en que Heisenberg estaba trabajando en esto. Jordan, que tenía formación matemática, reconoció la regla de la combinación como multiplicación de matrices. Jordan, junto con Max Born y Paul Dirac, se dieron cuenta de que el uso de cantidades no conmutativas era esencial para la descripción de Heisenberg.

Dirac, en particular, postuló que las reglas de multiplicación debían seguirse de consideraciones dinámicas; inspirado por el principio de correspondencia, fue capaz de relacionar, hasta un factor global, el clásico corchete de Poisson con un corchete cuántico para encontrar el ahora famoso

Hay varios relatos de este descubrimiento. La más histórica es la de Max Jammer , que pudo entrevistar de primera mano a algunos de los actores de la historia. También hay un texto interesante y más reciente de Roland Omnes pero no se centra tanto en la historia. Estoy seguro de que hay otros.

Editar: después de leer la cuenta de @hyportnex, encontré a Jammer en línea y lo verifiqué. La cuenta de hyportnex es precisa cuando se trata de que Born reconozca la forma matricial de la expresión de Heisenberg. En cuanto a la historia del tren: Nace que conoció a Jordan en un tren. Citando a Jammer, página 109:

Ahora bien, Born, mientras viajaba en tren a Hannover, le contó a un colega suyo de Gottingen sobre el rápido progreso de su trabajo pero también mencionó las peculiares dificultades involucradas en los cálculos con matrices. Fue una suerte y casi un acto de providencia que Jordan, que compartía el mismo compartimento en el tren, escuchara esta conversación. En la estación de Hannover, Jordan se presentó a Born, le habló de su experiencia en el manejo de matrices y expresó su disposición a ayudar a Born en su trabajo.

Para estudiar la historia del tema recomiendo van der Waerden: Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications). Este libro solo analiza la historia de la mecánica de matrices, por lo que el desarrollo de la mecánica ondulatoria (de Broglie, Schrodinger, etc.) se deja para un segundo volumen nunca terminado/publicado. Para escribir este libro, Waerden contactó directamente a los actores principales: Pauli, Heisenberg, Born, Jordan, etc. Permítanme citar una carta que Waerden recibió de Born, ver páginas 36-37.

Conjetura de Born sobre pq — qp

El 19 de julio, Born tomó el tren a Hannover para asistir a la reunión de la Deutsche Physikalische Gesellschaft. Su propio relato, confirmado por el testimonio de Jordan, dice así:

Después de haber enviado el artículo de Heisenberg al Zeitschrift für Physik para su publicación, comencé a reflexionar sobre su multiplicación simbólica, y pronto me involucré tanto que pensé todo el día y casi no podía dormir por la noche. Porque sentí que había algo fundamental detrás... Y una mañana... De repente vi la luz: la multiplicación simbólica de Heisenberg no era más que el cálculo matricial, bien conocido por mí desde mi época de estudiante de las conferencias de Rosanes en Breslau. Encontré esto simplemente simplificando un poco la notación: en lugar de$q(n, n+\tau)$escribí$q(n, m)$, y reescribiendo la forma de Heisenberg de las condiciones cuánticas de Bohr, reconocí de inmediato su significado formal. Significaba que los dos productos de la matriz$\mathbf{pq}$y$\mathbf{qp}$no son idénticos. Estaba familiarizado con el hecho de que la multiplicación de matrices no es conmutativa; por lo tanto, no me desconcertó demasiado este resultado. Una inspección más cercana mostró que la fórmula de Heisenberg daba sólo el valor de los elementos diagonales (m=n) de la matriz pq — qp : decía que todos eran iguales y tenían el valor$h/i2\pi$. Pero ¿cuáles eran los otros elementos$m \ne n$? Aquí comenzó mi propio trabajo constructivo. Repitiendo el cálculo de Heisenberg en notación matricial, pronto me convencí de que el único valor razonable de los elementos no diagonales debería ser cero, y escribí la extraña ecuación

El conmutador surge en la cuantificación canónica , que es un procedimiento para cuantificar una teoría clásica, omnipresente en la mayoría de los textos de mecánica cuántica y teoría cuántica de campos. Se impone la condición de que,

que está de acuerdo con la regla empírica (ya que hay muchas sutilezas en cuanto a su aplicabilidad),

atribuido a Dirac. La cuantización es un medio de pasar de una teoría especificada por una acción o un espacio de fase con una estructura simpléctica particular. Entonces, su pregunta se reduce en esencia a la validez de la cuantificación de esta manera.

Para justificar esto con rigor, recomendaría leer el artículo de nLab ; tiene la costumbre de complicar demasiado ciertos asuntos, especialmente con la jerga, pero creo que abordará sus inquietudes.

Otra forma de verlo es tratando de definir$x$y$p$en una teoría cuántica con sensatez. Por ejemplo, el operador de cantidad de movimiento tiene un significado intuitivo y un comportamiento esperado en los estados.

Además, por ejemplo, en la teoría cuántica de campos, se puede aplicar el teorema de Noether en el caso de la simetría traslacional para derivar el momento conjugado, y luego al cuantificar los campos de la teoría, módulo potencial ordenando ambigüedades, uno llega a un operador$p$.

Explícitamente, se puede escribir$\phi(x)$y$\pi(x)$decir, y comprobar que,

que es el analogo de$[x_i,p_j] = i\hbar \delta_{ij}$aunque esta derivación dependería del hecho de que$[a,a^\dagger]= 1$para los operadores de escalera, por lo que las definiciones de los dos conmutadores están entrelazadas en cierto sentido. Pedir una justificación de las relaciones canónicas está ligado a la relación para operadores de escalera.