En busca de un libro de análisis riguroso

El texto de Rudin es bueno y tiene casi todo lo que quieres. Pero creo que Rudin + algún otro libro puede adaptarse mejor a sus propósitos.

• El Análisis de Terence Tao- 1 describe la construcción de$\mathbb{R}$muy bien. Lea la primera respuesta a una pregunta que hice hace un tiempo aquí: Buen primer curso en un libro de análisis real para el autoaprendizaje.
• Rudin tiene un desarrollo riguroso de los límites, la continuidad, etc., pero también Bartle, la Introducción al análisis real de Sherbert y el Análisis real elemental de Thomas Bruckner. Los dos últimos tratan solo con una variable y contienen ejemplos realmente elementales de probar límites, continuidad usando$\epsilon-\delta$definición, no recuerdo que el texto de Rudin tenga ejemplos tan resueltos. Vale la pena echarle un vistazo en mi opinión.
• Sin duda, Rudin tiene muy buenos ejercicios y, si se queda atascado en alguno de ellos, hay soluciones disponibles en línea en un pdf y notas complementarias muy útiles: aquí para comprender mejor la teoría con un conjunto de ejercicios al final de cada capítulo que lo prepara para Rudin. ejercicios.
  Aunque leerlo a veces puede ser muy frustrante por la falta de ejemplos. Por lo general, aconsejo a las personas que primero lean un texto más suave como Sherbert y luego vuelvan a él.
  Explore primero todos los libros y, si cree que está listo para Rudin's, hágalo.
• Una vez que haya terminado con cualquier texto de análisis que elija leer, este conjunto de libros de tres problemas publicado por AMS es muy bueno. Lea más sobre esto aquí: Problemas en el análisis matemático .
• He oído hablar de otros buenos libros, pero personalmente no tengo experiencia: el análisis de grado de Serge Lang, Real Mathematical Analysis de Charles Pugh, Understanding Analysis de Stephen Abbott.

La razón por la que nunca escribiré un libro de texto de Cálculo es porque Cálculo de Michael Spivak es una obra maestra escrita a un nivel que nunca podría alcanzar.

Si lo encuentra demasiado avanzado, le sugiero que lea primero otro libro de Spivak: The Hitchhiker's Guide to Calculus .

Cálculo de Spivak sigue siendo el mejor libro para una base rigurosa de cálculo y una introducción al análisis matemático. Incluye, en su último capítulo, temas muy interesantes, como la construcción del número trascendental y la prueba de que e es trascendental, y la prueba de que$\pi$es irracional También incluye, en el Apéndice, una construcción rigurosa del conjunto de números reales por cortes de Dedekind.

Es, en mi opinión, con diferencia el mejor libro de Cálculo, si se quiere entender bien el$\delta-\varepsilon$definiciones, y ser capaz de resolver problemas desafiantes, que requieren estas definiciones. Uno de mis problemas favoritos de Spivak de este tipo es el siguiente:

Dejar$f:\mathbb R\to\mathbb R$ser una función$($no necesariamente continuo$)$, que tiene un límite real en cada punto. Colocar

Sin embargo, el libro de Spivak trata únicamente del cálculo unidimensional.

Segunda lectura, justo después de Spivak: Principios del análisis matemático , de W. Rudin. Aparte de una buena introducción a la Teoría del Espacio Métrico (para aprender qué es un conjunto abierto, cerrado, compacto, perfecto y conexo), hay una serie de resultados sobre convergencia de sucesiones de funciones, cálculo multivariado, introducción de$k-$formularios e introducción a la medida de Lebesgue.

Como secuela, se debe considerar el pequeño gran clásico, Cálculo en variedades de Spivak , que proporciona una introducción elegante y concisa de$k-$formas y demostración del teorema de Stokes en espacios euclidianos y variedades.

Voy a recomendar encarecidamente el Análisis matemático real de Pugh. Lo usé para mi primera introducción al análisis riguroso y me gustó bastante. En particular, creo que es una buena alternativa a Rudin, ya que trata el análisis con un nivel de rigor similar de una manera mucho más legible.

Tiene una excelente introducción al Análisis Real en una sola variable y una buena (pero no la mejor) introducción al análisis multivariable. En particular, su tratamiento de la topología es mucho mejor que en Rudin y hay una enorme cantidad de problemas de todos los niveles de dificultad (pruebas de 1 oración de los problemas anteriores de Putnam).

Una palabra de advertencia, su estilo es un poco peculiar y sé que a algunas personas no les gusta. Para mí esto fue una ventaja, pero no es para todos.

Si Pugh/Rudin son demasiado rápidos para ti, también te recomiendo Comprender el análisis de Abbott para una introducción muy bien escrita que toma las cosas con más calma y completa los detalles más que Rudin/Pugh.

Vladimir A. Zorich Análisis Matemático I y II .

Creo que el Análisis matemático de Apostol es bastante bueno para lo que estás describiendo, pero deberías ver aquí: Rudin o Apostol para una discusión de los méritos y desventajas de este.

Me sorprende que nadie haya mencionado Un curso de matemáticas puras de GH Hardy. Ese libro es, en mi opinión, una obra de arte. Se considera un clásico en este tema y tiene todas las características que estás pidiendo, y mucho más. Hay muchas reseñas de este libro en línea, incluido este artículo de Wikipedia , por lo que no escribiré una nueva.

The Way of Analysis de Strichartz fue mi texto de pregrado. Este libro es extenso en explicaciones y muy bueno para proporcionar intuición. Como tal, es inusualmente adecuado para el autoaprendizaje.

No se sorprenda ni se avergüence si no puede leer textos de referencia como Rudin por su cuenta. No son adecuados para el autoaprendizaje de la mayoría de las personas.

Shrey lo mencionó al final de su respuesta, pero puedo dar fe del análisis de comprensión de Stephen Abbott , seguido de Rudin.

Antecedentes: Leí y realicé todos los problemas de práctica para Comprender el análisis en aproximadamente 2 o 3 semanas y luego abordé a la bestia acertadamente llamada Baby Rudin no fue tan difícil. Es una buena mezcla entre conversacional y rigor, que sirve como un buen libro de nivel introductorio-intermedio. También es relativamente barato si lo pides en Amazon. La única desventaja que se me ocurre es que no se brindan soluciones a los problemas de práctica, lo cual no es gran cosa con M.SE. Independientemente de su nivel de habilidad, sin duda recomendaría este libro como una buena introducción al Análisis.

Os animo a estudiar sobre el bebé Rudin, puede ser lacónico y seco pero es riguroso y completo. Contiene una construcción de números reales a partir de números racionales a través de cortes de Dedekind (Apéndice 1.8). El Capítulo 2 contiene elementos de topología en espacios métricos (concepto como compacidad que es fundamental en el análisis). En los capítulos 3, 4, 5 y 6 hay límites, sucesiones, sucesiones de Cauchy, series, continuidad, derivación, teoría de la integración. Al final de cada capítulo hay muchos problemas desafiantes. He integrado el estudio de Rudin con los libros de Apostol (Calculus vol. 1 y 2) y las conferencias de Francis Su sobre análisis ( https://www.youtube.com/playlist?list=PL0E754696F72137EC ).

Dado que planea tomar cursos de análisis en unos pocos meses, en lugar de obtener uno de los textos estándar de análisis real que otros han sugerido, le recomiendo que consulte los Fundamentos del análisis abstracto de Andrew M. Gleason .

Aquí hay algunos comentarios que escribí sobre el libro de Gleason en esta publicación de sci.math del 3 de enero de 2001 :

Leí fragmentos de la edición de 1966 a lo largo de mis años de estudiante. Este libro está MUY cuidadosamente escrito y TODO está desarrollado desde cero. Por lo que recuerdo, el libro comienza con tablas de verdad y lógica proposicional, luego procede a la lógica de predicados, luego a la teoría de conjuntos, luego a los axiomas de Peano para los números naturales y un modelo de ellos en la teoría de conjuntos ZF, luego a las construcciones de los números enteros, los números racionales, los números reales y los números complejos, ... Gleason da muchas explicaciones cuidadosamente escritas, pero de alguna manera se las arregla para llegar hasta cosas como la fórmula integral de Cauchy.

Lo siguiente es del artículo de Wikipedia sobre Andrew M. Gleason, citado de "un crítico" del libro de Gleason:

Este es un libro de lo más inusual... Por supuesto, todos los matemáticos que trabajan conocen la diferencia entre una cadena sin vida de proposiciones formalizadas y el "sentimiento" que uno tiene (o trata de tener) de una teoría matemática, y probablemente estará de acuerdo en que ayudar al estudiante llegar a esa visión "adentro" es el fin último de la educación matemática; pero por lo general abandonará todo intento de hacerlo con éxito, excepto a través de la enseñanza oral. La originalidad del autor es que ha tratado de alcanzar ese objetivo en un libro de texto y, en opinión del revisor, ha tenido un éxito notable en esta tarea casi imposible. La mayoría de los lectores probablemente estarán encantados (como lo ha estado el revisor) de encontrar, página tras página, minuciosos debates y explicaciones de los procedimientos matemáticos y lógicos estándar,

La construcción de los sistemas numéricos usuales es muy explícita y clara en la Teoría Clásica de Conjuntos , que también resulta ser una excelente primera exposición a ZFC . Asegúrate de aprender algo de teoría de categorías después de jugar con ZFC por un tiempo, para ayudarte a encontrar nuevas formas de ver las cosas que entren en conflicto con la visión del mundo de ZFC. El libro de Lawvere, Conjuntos para matemáticas , es bueno en este sentido y se puede descargar de forma gratuita.

He aquí un extracto de mi lista de libros recomendados. Creo que el mayor error que puede cometer un novato en el análisis es ser ambicioso en su primer libro. Encuentra el libro riguroso más fácil que puedas y domínalo. Luego consigue uno un poco más duro. Repetir.

"Yet Another Introduction to Analysis" de Victor Bryant es el libro que desearía haber tenido cuando estaba aprendiendo análisis, y si tuviera que escribir un libro sobre el tema, esta es la forma en que lo escribiría (excepto que gané no porque Bryant ya lo haya hecho). Bryant enseña análisis con mucha motivación y ejemplos. El lector que tiene en mente sabe cálculo pero no puede ver el sentido del análisis. Todas las matemáticas son (¡o deberían ser!) inventadas para resolver problemas y Bryant nunca olvida esto, y explica por qué y cómo a medida que presenta cada teorema. Si encuentra el análisis demasiado seco, este es el libro para usted.

"Análisis matemático: un enfoque sencillo" por KG Binmore. Si encuentra que el salto de Bryant a Rudin es demasiado grande, entonces Binmore es una buena opción intermedia. De hecho, este es el primer libro que leí sobre análisis: Bryant no estaba disponible en ese momento.

"Principios del Análisis Matemático" de Walter Rudin. Este es un gran segundo libro sobre análisis. Parte de primeros principios pero es más seco que Bryant. Entonces, primero lea a Bryant para tener una idea de lo que está sucediendo y luego trabaje con Rudin para obtener todos los detalles y aprender lo suficiente para prepararse para la teoría de la medida.

(la lista completa está en markjoshi.com)

The Real Numbers and Real Analysis de Ethan D. Bloch es un libro fantástico que usé en la universidad para mi clase de Real Analysis, impartida por el propio profesor Bloch. Lo recomiendo encarecidamente, y si necesita una lista de algunas correcciones menores realizadas, no dude en comunicarse.

Recomendaría dos libros. El primero es Análisis real introductorio de Frank Dangello y Michael Seyfried. El segundo es Introducción al análisis de GG Bilodeau, PR Thie y GE Keough. Estos dos libros están bien para una introducción al análisis de una sola variable.

Si lo desea, intente buscar una edición de Advanced Calculus de Watson Fulks o Advanced Calculus de R. Creighton Buck.

Finalmente, eche un vistazo a Introducción al análisis real de William F Trench. Puedes sacarlo de internet.

Debo recomendar The Real Numbers and Real Analysis de Ethan Bloch . No hay más que decir, ¡solo vea el menú completo y el prefacio detallado del autor aquí ! Es un buen punto de partida para el análisis.

PD: este libro funcionó asombrosamente bien en números reales y análisis de una variable que no he visto que ningún libro de análisis conocido en Amazon pueda alcanzar su horizonte; sin embargo, este libro no cubrió el análisis de varias variables. Si quieres estudiar este último, necesitas encontrar otro libro.

Del prefacio:

Múltiples Entradas

Una característica particularmente distintiva de este texto es que ofrece tres formas de entrar en el estudio de los números reales.
$\ \ $La Entrada 1, que ofrece el tratamiento más completo de los números reales, comienza con los Postulados de Peano para los números naturales, y luego conduce a la construcción de los números enteros, los números racionales y los números reales, demostrando las principales propiedades de cada conjunto de números a lo largo del camino.
$\ \ $La entrada 2, que es más eficiente que la entrada 1 pero más detallada que la entrada 3, se salta el tratamiento axiomático de los números naturales y, en cambio, comienza con un tratamiento axiomático de los números enteros. Primero se muestra que dentro de los números enteros se encuentra una copia de los números naturales, y luego se construyen los números racionales y los números reales, y se prueban sus principales propiedades.
$\ \ $La entrada 3, que es el enfoque más eficiente de los números reales, comienza con un tratamiento axiomático de los números reales. Se muestra que dentro de los números reales se encuentran los números naturales, los números enteros y los números racionales. Este enfoque es el que se toma en la mayoría de las introducciones contemporáneas al análisis real, aunque damos un poco más de detalles sobre los números naturales, enteros y números racionales que son comunes.
$\ \ $La existencia de tres entradas a los números reales permite una gran flexibilidad en el uso de este texto. Para un primer curso de análisis real, ya sea para matemáticas

Análisis de su historia por Ernst Hairer y Gerhard Wanner podría ser una buena opción. El libro no sólo es bastante riguroso sino también muy entretenido.

podría recomendar

1. Introducción al Análisis Real por Bartle y Sherbert
2. Análisis matemático por Binmore
3. Introducción al análisis real clásico por Stromberg

El primer libro es una introducción muy rigurosa al análisis real. Los resultados se presentan para$\mathbb{R}$. El estilo está en algún lugar entre el Cálculo de Spivak y el análisis descatalogado de Bartle .

El segundo libro parece una colección de notas de conferencias. El tono es conversacional si te gustan ese tipo de libros. El libro también proporciona soluciones de los ejercicios.

El tercero es mi favorito. No presupone ningún conocimiento previo. Todos los libros de análisis reales que he visto hasta ahora asumen que está familiarizado con las funciones trigonométricas, el número de Euler, etc. Stromberg nunca usa estos objetos matemáticos antes de definir. En mi opinión, es superior al texto clásico de Rudin, también conocido como Baby Rudin. Para ver lo que quiero decir, compare los tratamientos de los conjuntos de Cantor en ambos libros. De hecho, compara Stromberg con cualquier libro de análisis real y te darás cuenta de la diferencia.

Me gustaría agregar mi opinión sobre cómo aprender análisis, como estudiante de matemáticas.

Después de ver tantos libros de texto de análisis elemental, creo que ningún libro de texto de análisis puede superar a los siguientes tres, ordenados alfabéticamente:

1. Análisis de Amann & Escher,
2. Análisis matemático por Zorich,
3. Análisis matemático real de Pugh.

Descripción de los libros de texto primero y segundo: estos dos libros no solo cubren los conceptos analíticos típicos, sino que también cubren el cálculo de manera rigurosa, que a menudo se ignora en otros libros de texto de análisis. Por lo tanto, puede comenzar a leer directamente cualquiera de ellos sin necesidad de saber cálculo de nivel universitario.

Además, cubren muchos conceptos analíticos avanzados que normalmente no se tratan en otros libros de texto de análisis. Como ejemplo, hay una cobertura de la teoría múltiple en ambos libros de texto.

Sin embargo, estos dos libros de texto tienen un estilo diferente. El análisis de Amann trata de introducir cada concepto en su generalidad. Por ejemplo, no hay ninguna presentación de múltiples integrales de Riemann. Más bien, cubre una versión moderna (y más completa) de integración de Lebesgue, que se aplica en la presentación de algunos aspectos modernos del análisis de Fourier. Por el contrario, el libro de texto de Zorich suele presentar conceptos en líneas clásicas siempre que la presentación clásica se considere suficiente para su aplicabilidad en diversas ramas de las matemáticas y la física. Por ejemplo, cubre la teoría de las integrales múltiples de Riemann sin mencionar la de las integrales de Lebesgue, y en el tiempo sigue una presentación clásica del análisis de Fourier. Esto no es una limitación, ya que se espera que el lector aprenda estos temas generales en otros cursos.

También puede ser útil saber que el libro de texto de Amann tiene una mentalidad completamente matemática, mientras que el libro de texto de Zorich tiene en mente no solo lectores con mentalidad matemática sino también estudiantes de física. Por lo tanto, parece que el libro de texto de Amann es más difícil de comprender que el libro de texto de Zorich.

También hay una ligera diferencia en el contenido entre estos dos libros de texto. Si bien muchos de los temas analíticos están cubiertos en ambos (a veces de manera diferente, como se mencionó anteriormente con respecto a la teoría de la integración), hay temas que están cubiertos en uno sin estar cubiertos en el otro. Por ejemplo, el análisis complejo está integrado en el libro de texto de Amann, mientras que no está cubierto en el libro de texto de Zorich. También hay un capítulo sobre expansiones asintóticas en el libro de texto de Zorich que no está cubierto en el libro de texto de Amann.

Finalmente, ambos libros enseñan rigurosamente el análisis de una manera 'hermosa'. El aspecto estético a veces se ignora en muchos otros libros matemáticos y científicos, lo que puede desanimar al estudiante con su sequedad. Por cierto, solo el primer capítulo del libro de texto de Amann está seco. Pero esta sequedad (inevitable) se justifica en los capítulos siguientes y por lo tanto no interfiere con su belleza.

Descripción del tercer libro de texto: Este es otro libro de texto de análisis riguroso que cubre muchos de los conceptos analíticos esenciales que un estudiante universitario de matemáticas necesita saber. Este libro de texto no enseña cálculo, por lo que un curso previo de cálculo ayudará al lector a apreciar mejor los nuevos conceptos rigurosos. En particular, los otros libros de texto mencionados anteriormente tienen una cobertura más completa.

Hace hincapié en la visualización al abordar los conceptos matemáticos, por lo que el lector verá muchas imágenes útiles asociadas con los conceptos, lo que ayudará a comprender el material. Además, tiene muchos problemas desafiantes que ayudarán al lector a prepararse para exámenes importantes. Es este enfoque combinado con la perspicacia y la experiencia del autor lo que ha hecho de este libro de texto una lectura tan “hermosa”.

Casi todos los libros de texto de análisis matemático cubren los mismos temas que se presentan en el libro de texto de Pugh y la mayoría de las universidades adoptan uno de ellos en sus planes de estudio. Pero el libro de texto de Pugh se destaca como el más perspicaz e instructivo entre ellos.

Resumen: Cualquiera de estos tres libros ayudará al estudiante no solo a aprender sino también a disfrutar del análisis. Se recomienda un curso previo de cálculo si el lector decide leer el libro de texto de Pugh, mientras que esto no es necesario con los otros libros de texto.

Le recomendaría que tome el libro de Rudin junto con un amigo y trate de leerlo juntos, lentamente, replicando y demostrando sus demostraciones entre sí. Rudin es un gran libro, pero a veces se vuelve frustrante, pero no intentes pasarlo por alto. Además, también servirá como punto de referencia de su comprensión de las técnicas comunes de análisis. Cuando probé Rudin por primera vez, solía encontrarlo muy difícil, pero después de un año, cuando lo miré hacia atrás, pude resolver la mayor parte con mucha facilidad. La otra gran ventaja que sentí por hacer Rudnin fue que ahora cada vez que leo algún texto avanzado en Análisis Funcional o Armónico y hay algún lema, muchas veces puedo recordar que dijo algo similar en un contexto básico usando el muy similar tipo de argumento.

Tl:Dr; Encuentra un compañero, haz rudin y no te rindas.

Ser paciente. Si continúa con su especialización en matemáticas, tomará un curso en su tercer año, "Cálculo avanzado", que es mucho más riguroso. Lo que ha tomado es un curso introductorio destinado a proporcionar herramientas matemáticas para la física, la química, la ingeniería y otras profesiones técnicas. Ser paciente; se volverá más interesante. MUCHO más interesante, una vez que los no matemáticos están fuera de la clase.

** Descargo de responsabilidad: soy un ingeniero profesional registrado en California.

Mi antiguo profesor de UCLA, DE Weisbart, tiene un libro "Una introducción al análisis real" que era bastante bueno, solo para enumerar algo diferente.

Encuéntralo aquí .

Los libros destacados recientemente de MAA también tienen un buen título: https://books.google.com/books?id=4hbRoAEACAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false

De hecho, estoy buscando el correo electrónico de DE Weisbart, así que si lo sabe, deje un comentario (no con su correo electrónico, solo algo para que podamos llevarlo al chat).

El libro más riguroso sobre Cálculo que he encontrado es el libro de Cartan "Cálculo diferencial" de Henri Cartan y su segunda parte "Formas diferenciales".

Es un tratamiento realmente riguroso sobre las ideas de cálculo con la perspectiva del análisis, difícil de entender al principio pero luego es una buena introducción a las variedades diferenciables.

Le sugiero que eche un vistazo a los 3 volúmenes de Herbert Amann y Joachim Escher . La exposición es rigurosa, no prolija, no requiere requisitos previos y construye el análisis desde cero, es decir, usará solo axiomas, teoremas y definiciones que se desarrollaron antes. Nada en el libro se da por sentado. Una muy buena introducción al análisis AL ESTILO ALEMÁN.