recomendación de libro para análisis real

El libro de Apostol es muy bueno para el primer análisis de aprendizaje. Sin embargo, omite una serie de temas de cálculo multivariable, como las integrales de línea y de superficie y el análisis vectorial. Estos temas se pueden encontrar en otros libros, incluido Calculus , vol. 2.

En general, el libro de Rudin tiene menos contenido que el de Apostol y pruebas menos detalladas. Los ejercicios en el libro de Rudin tienden, más a menudo que en los de Apostol, a requerir que se te ocurran ideas que son muy diferentes a las del texto principal, o que realices más pasos en una prueba sin pistas. Para algunas personas, esto es una ventaja de Rudin y para otras una desventaja.

Diría que el libro de Dieudonné es probablemente la mejor "referencia", porque es muy formal y sistemático. (Por ejemplo, la primera definición dada de la derivada es para un mapeo entre dos espacios de Banach). También analiza resultados importantes en los ejercicios. En realidad, es la primera parte del tratado de análisis de nueve volúmenes de Dieudonné. Debido a su amplitud, no sería un buen primer libro para aprender de la mayoría de las personas, con la excepción de alguien con mucha capacidad y motivación.

También podría considerar el libro de dos volúmenes de Zorich, Análisis matemático . En general, el primer volumen trata del cálculo diferencial e integral en$\mathbf{R}$y cálculo diferencial en$\mathbf{R}^n$, y el segundo volumen trata varios temas avanzados. Sin embargo, incluso el material de cálculo del primer volumen se enseña de una manera relativamente avanzada (por ejemplo, usando lim sup y lim inf para simplificar las pruebas, o conjuntos abiertos y cerrados). Este podría ser un buen libro si desea iniciar el análisis y aprender correctamente el cálculo multivariable (es decir, con pruebas completas y ejercicios difíciles).

Basándome en una mirada muy superficial al libro de Adams y Essex, diría que, en comparación con libros de cálculo rigurosos como los de Apostol y Spivak, no parece una gran preparación para un curso de análisis. Hay mucha menos teoría y los ejercicios son más fáciles. Entonces, depende mucho de usted si tendrá éxito comenzando directamente con el Análisis matemático de Apostol. Si encuentra que es difícil, puede intentar usar un libro como el Análisis elemental de Ross , que está destinado a estudiantes que tienen poca experiencia con las demostraciones.

Recomendaría el análisis de comprensión de Stephen Abbott . Puede que no sea la mejor opción como texto independiente, pero eso no es lo que está buscando. Sin embargo, hace un gran trabajo al "llenar los vacíos". En particular, explica la motivación, por qué se desarrolló un análisis real y por qué es necesario este nivel de rigor. Mucho de esto se hace usando ejemplos contrarios a la intuición, mostrando lo que puede salir mal si uno no tiene cuidado. Y el texto da un sentido de la historia del tema, que muchos otros textos omiten hacer.

Recomendaría Comprender el análisis de Stephen Abbot, ya que este libro sirve como una excelente introducción al análisis de pregrado. Para una referencia más avanzada, puede usar Real Mathematical Analysis de Charles C Pugh, ya que no es tan conciso como la mayoría de los libros de análisis, pero sigue siendo lo suficientemente riguroso. Una de sus mejores características es que usa imágenes para explicar conceptos y teoremas difíciles. Espero que esto ayude.

Si pudiera sugerir dos libros, diría una combinación de Principios de análisis matemático de Walter Rudin (3.ª edición, 1976) y Análisis matemático real de Charles Chapman Pugh.(2ª edición, 2015), ya que se complementan muy bien. Pugh tiene una fuerte preferencia por la enseñanza mediante la intuición visual informal. Su escritura también es muy coloquial para los estándares de los libros de texto y transmite con éxito el entusiasmo del autor por el tema. Además, el autor hace un buen trabajo al explicar la esencia de un concepto o una prueba de una manera que ayuda al alumno a desarrollar la intuición. Sus ejercicios también son probablemente los mejores que existen: es una gran colección que va desde la rutina (sin estrellas) hasta los difíciles (*) y los muy difíciles (**) hasta las preguntas que el autor no sabe una solución completa de (*** ). Si puede completar la mitad de las preguntas destacadas, debería estar más que listo para un curso de análisis real de posgrado que comienza con la teoría de la medida abstracta.

Por otro lado, leer "Baby Rudin" es imprescindible para cualquier estudiante serio de matemáticas. Es un libro que aprendes a apreciar más y más a medida que avanzas. Su estilo es diametralmente opuesto al de Pugh. No hay una sola figura, y en la primera edición (1953) advierte explícitamente:

"A menudo es conveniente usar lenguaje geométrico cuando se habla de conjuntos de números reales y complejos. Sin embargo, debe entenderse claramente que las demostraciones no deben basarse en la intuición geométrica, aunque la interpretación geométrica puede ser muy útil para sugerir los pasos a seguir. que una prueba podría proceder".

Además, el texto es escaso, con muy poca discusión o comentario. En cambio, la mayor parte del texto aparece bajo los encabezados Definición, Ejemplo, Teorema, Demostración, Corolario (en ese orden), con la observación ocasional salpicada. Aunque inicialmente encontré este formato intolerablemente seco, la claridad de este estilo crece en ti. Además, a medida que crezca su conocimiento y comprensión, apreciará cuánto pensó el autor en elegir el orden en el que presentar cada artículo. En resumen, la organización es extremadamente eficiente, al igual que las pruebas en sí mismas, que son rigurosas pero no usan un carácter más del necesario. Desafortunadamente, las demostraciones a menudo son tan ingeniosas que dejan al estudiante desconcertado y desconcertado. Obtener la opinión de Pugh sobre el mismo tema suele ser muy esclarecedor.

Tl; dr. Lea a Rudin para desarrollar la resistencia para analizar la escritura matemática simplificada (¡los textos matemáticos avanzados tienden a escribirse en este estilo!) y para apreciar lo bonitas que son sus pruebas. Lee a Pugh para desarrollar la intuición correcta con respecto a conceptos geométricos o topológicos y para hacer sus excelentes ejercicios.