Libros de Leonhard Euler en análisis y álgebra

Soy un aspirante a matemático que está profundamente interesado en el análisis, la topología y sus aplicaciones a la microbiología. Recientemente, comencé a tener mucha curiosidad acerca de por qué los conceptos y teoremas en el análisis real y los temas vienen como son; los libros legendarios de topología como Engelking y Kelley me han estado guiando para responder preguntas como "¿Por qué nos importa?" o "¿Qué motiva tales teoremas, definiciones, axiomas?", pero no pude responder tales preguntas de los libros de análisis como Rudin, lo que en realidad resultó en una comprensión superficial del análisis (de alguna manera me obligué a memorizar los contenidos de Rudin) ...Esa es la razón por la que decidí leer algunos libros de análisis durante el resto de este verano, como Euler, Hairer/Wanner, Bressoud,

Estoy particularmente interesado en los libros de Euler: "Introducción al análisis del infinito, I-II", "Fundamentos del cálculo diferencial" y "Elementos de álgebra". Para aquellos que tienen experiencia o leyeron esos libros, ¿podrían decirme cómo los inspiraron o beneficiaron? Además, ¿son esos libros bastante independientes entre sí? ¿Son mejores que libros como Hairer/Wanner para aprender sobre los antecedentes históricos del análisis real?

También podría probar Disquisitiones Arithmaticae de Gauss para aprender sobre la teoría de números en detalle.

Recomiendo ENCARECIDAMENTE la serie Ifinite de Knopp, tiene 100 años pero es un clásico atemporal que me llevó Don Zagier. No me gusta cómo Knopp construye los números reales, pero una vez que superas eso, solo tienes que ser paciente y más sólido, es un tratamiento verdaderamente esclarecedor del tema. En cuanto a Gauss, creo que te beneficias más con tratamientos más modernos del tema.
Realmente recomendaría mirar el análisis después de que la definición de un límite se haya vuelto formal. Buscar resultados antes de ese tiempo y algunas de las pruebas que encuentre no se considerarán rigurosas según los estándares actuales. Recomendaría "Análisis real introductorio" de Kolmogorov y Fomin. Te presentará una plétora de conceptos, y la edición Dover es extremadamente barata (creo que cuesta menos de $15 en Amazon).
@Aweygan Gracias por tu consejo. En realidad, mi plan es leer pronto a Kolmogorov/Fomin, pero creo que también sería beneficioso para mí aprender contextos históricos del análisis real, ya que me gusta seguir cuestionándome los orígenes y la utilidad de los teoremas y conceptos.
Rudin es extremadamente hostil para los principiantes. Recomendaría Royden/Apostol/Bartle para análisis. Cualquiera de estos tres sería mejor que Rudin.
@GregoryGrant Debería probar con Knopp también... Tiene dos libros similares en la serie... ¿Son básicamente iguales?
@yoyostein De hecho, leí a Rudin... pero me di cuenta de que no entendía tanto como esperaba.
@MathWanderer Lo mismo aquí, no entendí a Rudin en mi primera lectura. Rudin es bueno como libro de referencia después de haber aprendido el material, no para aquellos que lo están aprendiendo por primera vez.
@yoyostein De hecho, estoy leyendo Korner ahora (¡muy buen libro!), pero me gustaría conocer los antecedentes históricos del análisis real, como el de Euler o Hairer.
@MathWanderer genial. Acabo de buscar Korner. Parece ser un escritor humorístico.
Recomendaría el muy claro "Análisis por su historia" de Ernst Hairer y Gerhard Wanner (Springer).
Se llama Teoría y Aplicaciones de Series Infinitas, por Knopp (no Knapp)
Algunas partes de Euler "Opera" siguen siendo muy legibles, pero es mejor empezar por otros autores, especialmente cuando reescriben y amplían obras de este genio. Recomiendo encarecidamente una verdadera maravilla: "Una introducción a la teoría de los números" de Hardy y Wright (¡primera ed. 1938!) /pdf/842.pdf). Mire por ejemplo su Capítulo XIX.
Por grandioso que fuera Euler, recomiendo enfáticamente no leer esos libros. Los libros escritos por grandes matemáticos del pasado serán difíciles de entender para nosotros debido a la notación desordenada. A menudo se lucha mucho para decir algo muy simple hoy. Además, tenga en cuenta que el análisis no se hizo riguroso cuando Euler estaba vivo. Eso pasó con Cauchy, Weirstrass, Dedekind, Peano, etc. El libro de Ethan Blouch es muy bueno, al igual que el de Terrance Tao. Ambos tienen explicaciones profundas, al menos para mi nivel. Stein tiene una gran serie sobre análisis, pero no estoy seguro de que contenga lo que quieres.
@user230452 Leí algunos capítulos en Bloch y Tao, pero no me gusta Bloch y descubrí que Landau es mejor que Tao.... Mi plan es estudiar algunos libros históricos antes de saltar al análisis real como Stein y Kolmogorov/Fomin. Entonces, ¿no hay una perspicacia verdaderamente útil en los libros escritos por Euler, Gauss, etc.?
@MathWanderer Le recomiendo el siguiente libro: "Análisis por su historia", Hairer y Wanner, y le recomiendo encarecidamente que no pierda el tiempo leyendo libros de Euler y Gauss, ya que la mayor parte de la energía se gastaría en descifrar el lenguaje (no No creo que escribieron en inglés), la gramática antigua del idioma y la notación del día en lugar de entender el material en sí (que requiere esfuerzo incluso con una exposición clara). Además, el análisis no se formalizó realmente hasta Cauchy, Weirstrass, etc.
Un libro popular más ligero que disfruté fue "Calculus Gallery" de William Dunham.

Respuestas (1)

Me encanta esta frase del famoso matemático Paul Halmos, dada al comienzo de una serie de conferencias sobre operadores lineales:

"Una cosa que sucede muy a menudo en matemáticas es que empiezas con algo concreto (...), y de ese concepto concreto crece una noción axiomática abstracta (...), luego descubres de repente, con una agradable sorpresa (sólo no debería haber sido tan sorprendente), que cada uno de estos objetos abstractos tiene una representación concreta de una de esas cosas con las que empezaste".

Mi recomendación para una descripción histórica general de las matemáticas es "Mathematics and it's history" de Stillwell . Este no es un tipo de libro de prueba de teoremas, ya que no está interesado en desarrollar teoría, pero da muchos ejemplos de objetos concretos, nociones abstractas y teoremas que han sido estudiados por matemáticos a lo largo de la historia, que en una etapa posterior se convirtieron en los ejemplos prototípicos de teorías más generales. Además, está mucho más centrado en las matemáticas que en las biografías de los grandes matemáticos. Otra cosa buena es que usa notación moderna, así que no tienes que luchar para descifrar lo que quiere decir.

Este último punto me parece muy importante; No dudo que hay mucho que ganar leyendo los textos antiguos, y de ninguna manera estoy argumentando que no lo haga. Leer los argumentos de Euclides o Newton te hace apreciar los beneficios de nuestra notación moderna y el rigor, por ejemplo. Sin embargo, recomendaría libros modernos centrados en el desarrollo histórico de la teoría.

Las conferencias de PS Halmos se pueden ver aquí: http://av.cah.utexas.edu/index.php/Category:PR_Halmos_Lecture_Film_Series

Gracias por el consejo. Recuerdo que los libros de Stilwell eran excelentes, pero encontré que sus libros de historia no eran tan emocionantes como los de Hairer/Wanner (centrados en el análisis, por supuesto).
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