Libros de texto de álgebra de secundaria para estudiantes superdotados

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Estoy buscando libros de texto de álgebra/matemáticas para la escuela secundaria dirigidos a estudiantes talentosos, como preparación para un cálculo totalmente riguroso a la Spivak. Estoy interesado en los mejores materiales disponibles en inglés, francés, alemán o hebreo.

Idealmente, los libros deben proporcionar una introducción completa al álgebra en este nivel, comenzando con las operaciones más básicas sobre polinomios. Debe incluir la teoría necesaria (p. ej., el teorema del resto de Bezout sobre polinomios, la prueba del teorema fundamental de la aritmética, el algoritmo de Euclides, una discusión más honesta de los números reales de lo habitual, pruebas de las propiedades de los exponentes racionales, etc., y una actitud general que todas las afirmaciones deben probarse, con pocas excepciones). También debe tener problemas que van desde ejercicios que familiarizan a los estudiantes con las manipulaciones algebraicas básicas sobre polinomios hasta ejercicios mucho más difíciles.

Específicamente, estoy buscando algo similar en espíritu a una serie de excelentes libros rusos de Vilenkin para estudiantes de las llamadas "escuelas matemáticas" de los grados 8 a 11, aunque solo estoy buscando el equivalente de los libros de grado 8 y 9. , que están en el nivel de precálculo. Para darle una idea, aquí hay una muestra de problemas típicos del libro de grado 8.

1. Realice las operaciones indicadas.$\frac{3p^2mq}{2a^2 b^2} \cdot \frac{3abc}{8x^2 y^2} : \frac{9a^2 b^2 c^3}{28pxy}$

2. Demuestra que cuando$a \ne 0$, el polinomio$x^{2n} + a^{2n}$no es divisible ni por$x + a$ni por$x - a$.

3. probar que si$a + b + c = 0$, entonces$a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(a + c) (b + c) = 0$.

4. probar que si$a > 1$, entonces$a^4 + 4$es un número compuesto.

5. probar que si$n$es relativamente primo para$6$, entonces$n^2 - 1$es divisible por 24

6. Simplificar$\sqrt{36x^2}$.

7. Simplificar$\sqrt{12 + \sqrt{63}}$.

8. Demostrar que la diferencia de las raíces de la ecuación$5x^2 -2(5a + 3)x + 5a^2 + 6a + 1 = 0$no depende de$a$.

9. Resuelve la desigualdad$|x - 6| \leq |x^2 - 5x + 2|$.

Y aquí están los títulos de los capítulos de los libros de grado 8 y 9.

Grado 8: Fracciones. Polinomios. Divisibilidad; números primos y compuestos. Numeros reales. Ecuaciones cuadráticas; sistemas de ecuaciones no lineales; resolución de desigualdades.

Grado 9: Elementos de teoría de conjuntos. Funciones. Poderes y raíces. Ecuaciones y desigualdades, y sistemas de las mismas. Secuencias. Elementos de trigonometría. Elementos de combinatoria y teoría de la probabilidad.

En general, se han hecho preguntas similares en otros lugares, sin embargo, las sugerencias que se hacen allí no son satisfactorias para mis propósitos.

1. Las traducciones al inglés de los libros de Gelfand son buenas; sin embargo, no son una introducción suficientemente amplia al álgebra de la escuela secundaria y no tienen suficiente material sobre técnicas computacionales. Son más de la naturaleza de los suplementos de un libro de texto ordinario.

2. Se han sugerido algunos libros del siglo XIX como Hall y Knight. En cuanto al material conceptual, estos tienden a ser demasiado antiguos en lenguaje y perspectiva.

3. Basic Mathematics de Serge Lang parece más incursionar en varios temas que proporcionar una introducción completa al álgebra.

4. No me inclino por libros con una orientación muy fuerte de "Nuevas Matemáticas" (1971-1983 Francia, por ejemplo). No creo que un estudiante deba entender el grupo de transformaciones afines de$\mathbb{R}$para saber qué es una línea.

Además, las preguntas anteriores tal vez se hayan centrado implícitamente en el material en inglés. Tengo en mente a un estudiante que también pueda leer fácilmente francés, alemán o hebreo si se puede encontrar algo mejor en esos idiomas.

Editar. Me gustaría aclarar que no estoy pidiendo algo idéntico a estos libros, sino algo lo más cercano posible a su espíritu. Fundamentalmente, esto significa: 1. Es un sustituto, y no solo un complemento, de un libro de texto de álgebra escolar normal. 2. Está dirigido a los alumnos más capaces. 3. Transmite el mensaje de que las pruebas y la resolución creativa de problemas son fundamentales para las matemáticas.