Campo electrostático en superficies compactas

En superficies compactas, no hay solución a la siguiente ecuación:

∇ 2 ϕ ( σ ) = d 2 ( σ )
ya que no hay lugar a donde ir para las líneas de campo eléctrico mi i = − ∂ i ϕ .

Esto parece prohibir que ocurran algunas configuraciones de carga electrostática en una superficie compacta. ¿Esta teoría está mal definida? ¿Qué tipo de mecanismo protege la teoría de la configuración de cargas peligrosas?

¿Qué quiere decir con superficies compactas en electrostática? En electrostática, estamos interesados ​​en las superficies de los conductores o aisladores. En el caso de los conductores, el campo eléctrico dentro del conductor es cero y justo fuera de él, mi ⊥ = σ / ε 0 y mi ∥ = 0 . En el caso de los aisladores, también deben satisfacerse condiciones de contorno. De lo contrario, el campo eléctrico "comenzará" en las cargas que producen el campo y disminuirá a cero lejos de la fuente del campo o terminará en cualquier conductor o aislador o -ve cargas.
¿Te refieres a la noción de soporte compacto?
Estoy considerando electrostática en un espacio compacto bidimensional. Una esfera S 2 Por ejemplo. No es la electrostática tridimensional usal.

Respuestas (1)

El problema es el lema de Poincaré unido a la compacidad (sin límite) de la 2-variedad METRO estamos considerando. Debido a ellos, el flujo del campo eléctrico debe ser simultáneamente cero y 1 para 1 -superficie (una curva cerrada) que rodea el soporte de la función delta, ya que esta curva puede verse como el límite de una región que incluye la carga pero también el límite de su complemento. Esta propiedad debe ser válida para cada densidad de carga sobre la variedad: la carga total debe ser cero. Como consecuencia, no hay solución para la ecuación que escribiste ya que estás tratando con una densidad de carga cuya integral es diferente de cero.

Sin embargo, hay algunas salidas. La más simple se obtiene agregando una constante negativa al lado derecho de tu ecuación cuya integral en toda la superficie compacta cancela la integral del delta. Esta es una densidad de carga continua que compensa la carga localizada que surge de la función delta.
De hecho, la solución fundamental debe satisfacer

(1) Δ X GRAMO ( X , y ) = d ( X , y ) − S − 1 ,
dónde S es el 2 -volumen de toda la variedad METRO .

Este procedimiento funciona para un 2-toroide plano en particular, donde este tipo de solución fundamental se puede calcular explícitamente por medio de una doble serie de Fourier (pruebe y preste atención al modo cero).

La solución fundamental obtenida produce, usando el procedimiento de convolución estándar, el campo potencial (satisfaciendo la ecuación de Poisson) generado por una densidad de carga suave ρ siempre que la carga total (integrada) desaparezca a medida que se requiera.

(2) φ ( X ) = ∫ METRO GRAMO ( X , y ) ρ ( y ) d y .
Esto es evidente a partir de (1), pasando el laplaciano bajo el signo de integración.

Todo eso funciona también en compacto norte Variedad dimensional (sin límite) que se refiere a la ecuación de Poisson construida a partir de una métrica suave de Riemann definida en ella.

Es interesante notar que fuera del soporte de la función delta, dichas soluciones fundamentales que son distribuciones, son sin embargo funciones suaves como consecuencia de teoremas de regularidad elíptica. Para el 2-torus, la serie de Fourier que encuentra debe considerarse una serie de distribuciones. Sin embargo, converge débilmente a una función suave fuera del soporte del delta.

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