¿Cómo determinar la densidad de carga usando deltas de Dirac por adelantado? --- no después del hecho

Contexto

Ya hice una pregunta sobre densidades de carga, Diracs y Heavisides [0]. Al momento de escribir, esa pregunta permanece abierta. Más importante aún, sigo sin tener claro cómo escribir densidades de carga con Diracs y Heavisides. Aquí hay un ejemplo para mostrar que me falta claridad.

Esta pregunta aquí gira en torno a cómo definir una carga superficial. Hay una gran configuración para el problema. Una vez configurado, viene la discusión de la carga superficial. quiero resolver el potencial electrico$V$dentro y fuera de una bola conductora de radio$R$con un cargo total$Q$. El problema se puede resolver con la Ley de Gauss y se puede resolver con armónicos esféricos. Haré ambos.

Ley de Gauss

Aquí, uso la Ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico; y luego uso integración y continuidad de$V$en el límite para resolver$V$. I el potencial en el infinito como referencia cero.

$$\begin{align*} \mathbf{E} {\left(\mathbf{r}\right)} &= \begin{cases} \mathbf{0},~&\text{for} ~r< R \\\\ \frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_o \,r^2 }\,\mathbf{\hat{r}} ,~&\text{for} ~r> R. \end{cases} \end{align*}$$ $$\begin{align*} V {\left(\mathbf{r}\right)} &= \begin{cases} \frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_o \,R } ,~&\text{for} ~r\leq R \\\\ \frac{Q}{4\,\pi\,\epsilon_o \,r } ,~&\text{for} ~r> R. \end{cases} \end{align*}$$

Expansión en armónicos esféricos

En pocas palabras, dado que este problema tiene simetría azimutal, la solución se puede escribir [1] en términos de polinomios de grado de Legendre$\ell$,$P_\ell$, como

$$V(r,\theta,\phi) = \begin{cases} \sum_{\ell=0}^\infty A_\ell\, r^\ell\,P_\ell(\cos\theta), &(r\leq R) \\ \sum_{\ell=0}^\infty \frac{A_\ell\,R^{2\,\ell+1}}{r^{\ell+1}} \,P_\ell(\cos\theta), &(r\geq R) ; \end{cases}$$ dónde $$A_\ell = \frac{1}{2\,\varepsilon_o\,R^{\ell-1} }\,\int_0^\pi \sigma(\theta) P_\ell(\cos\theta)\,\sin\theta\,d\theta .$$

Pregunta

(1) ¿Qué es$\sigma(\theta)$

(2) ¿Qué estoy malinterpretando acerca de cómo usar las distribuciones delta de Dirac y la función de paso de Heaviside cuando intento escribir las densidades de carga en términos de lo mismo?

Respuesta a la pregunta 1

Por un lado , argumento, pero no con confianza en mí mismo y solo porque sé la respuesta de antemano, que la densidad de carga superficial es invariante con respecto a$\theta$(es decir,$\sigma(\theta) = \sigma_o$). En tal caso, según la ortogonalidad de los polinomios de Legendre [2]

$$\begin{align} A_\ell &= \frac{\sigma_o}{2\,\varepsilon_o\,R^{\ell-1} }\,\int_0^\pi P_\ell(\cos\theta)\,\sin\theta\,d\theta . \\ &= \begin{cases} 0 & (\ell\neq 0) \\ \frac{\sigma_o\,R }{ \varepsilon_o }. \end{cases} \end{align}$$ De este modo, $$V(r,\theta,\phi) = \begin{cases} \frac{\sigma_o\,R }{ \varepsilon_o } , &(r\leq R) \\ \frac{\sigma_o\,R }{ \varepsilon_o }\,\frac{ R }{r }, &(r\geq R) ; \end{cases}$$ Parece que para que la respuesta aquí sea consistente con la respuesta de la ley de Gauss, que $$\sigma(\theta) = \frac{Q}{4\,\pi\,R^2}.\tag{1}$$ Esto parece una descripción sensata de la carga superficial. En última instancia, $$V(r,\theta,\phi) = \begin{cases} \frac{ Q }{ 4\,\pi\,R \,\varepsilon_o } , &(r\leq R) \\ \frac{ Q }{ 4\,\pi \,\varepsilon_o\,r }, &(r\geq R) . \end{cases}$$ Bueno, eso parece haber ido bien.

Por otro lado , sostengo que la densidad de carga superficial varía con respecto a$\theta$. En tal caso, de acuerdo con la ortogonalidad de la

escribo eso

$$\begin{align} Q &= \int_{\mathbb{R}^3} \rho(r,\theta,\phi)\,d\tau \\ &= \int_{\phi=0}^{2\,\pi}\,\int_{\theta=0}^{\pi}\,\int_{r=0}^\infty \rho(r,\theta,\phi)\,r^2\,\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi. \end{align}$$ Como la carga solo existe en$r=R$, Escribo$\rho(r,\theta,\phi) = \sigma(r,\theta,\phi)\,\delta(r-R)$, entonces $$\begin{align} Q &= \int_{\phi=0}^{2\,\pi}\,\int_{\theta=0}^{\pi}\,\int_{r=0}^\infty \sigma( \theta,\phi)\,\delta(r-R)\,r^2\,\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi. \\ &= \int_{\phi=0}^{2\,\pi}\,\int_{\theta=0}^{\pi} \sigma(\theta,\phi) \, R^2\,\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi . \end{align}$$ Argumento, pero no de manera convincente, que dado que el elemento de área diferencial,$da$es$da =R^2\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi$y dado que la densidad de carga superficial debe ser constante con respecto a$da$, eso$\sigma( \theta,\phi) =\sigma_o$. Entonces, $$\begin{align} Q &= \int_{\phi=0}^{2\,\pi}\,\int_{\theta=0}^{\pi} \sigma_o \, R^2\,\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi . \\ &= 4\,\pi \sigma_o \, R^2. \end{align}$$ Nuevamente, para ser consistente, parece que $$\sigma = \frac{Q}{4\,\pi\,R^2}. \tag{2}$$ En tal caso, obtendré la misma respuesta que antes para$V(r,\theta,\phi)$.

mi verdadera pregunta

¿Hay alguna forma de método más formal para determinar cómo usar las distribuciones delta de Dirac y las funciones de paso de Heavside? Ambas formas en que actué aquí son redondas. En la Ecuación 1 y la Ecuación 2, determino la densidad de carga a posteriori. No me gusta eso, ya que creo que no aplicaré correctamente las funciones delta de Dirac y las funciones escalonadas de Heaviside en superficies más complicadas, cuando no puedo usar un argumento a posteriori.

Bibliografía

[0] Delta de Dirac, paso de Heaviside y densidad de carga volumétrica

[1] Griffiths, "Introducción a la electrodinámica" 2ª edición p. 142-143.

[2] Colaboradores de Wikipedia. "Polinomios de Legendre". Wikipedia, la enciclopedia libre. Wikipedia, la enciclopedia libre, 21 de febrero de 2021. Web. 8 de marzo de 2021.