¿Cómo sabe cuándo necesita usar distribuciones para representar densidades de carga? [cerrado]

Traté de resolver un problema usando la ley de Gauss de la siguiente manera.

Supongamos que tenemos una capa esférica de radio R con un cargo q distribuyéndose homogéneamente en su superficie. Estoy tratando de averiguar el mi -campo generado por este ensamblaje utilizando la ley de Gauss.

Me parece claro que para r < R , el mi -el campo debe ser igual a 0. Ahora para r > R , Se obtiene

mi ( r ) ⋅ 4 π r 2 = ∮ ∂ tu r mi d A = ∫ tu r ∇ ⋅ mi d V = ∫ tu r ρ ϵ 0 d V
Pero en este caso, ρ = 0 en todas partes excepto en ∂ tu r , por lo que obtenemos
∫ tu r ρ ϵ 0 d V = ∫ ∂ tu r ρ ϵ 0 d V = 0
como el volumen de ∂ tu ( r ) es igual a 0. Esta fue mi solución original incorrecta.

Si entendí bien la pista proporcionada en los comentarios, parece que la densidad de carga debería tener la siguiente forma

ρ ( r ) = d ( R − r ) ⋅ q 4 π R 2
dónde d es la distribución delta de Dirac, y que esto me permitirá calcular correctamente la mi -campo, rendimiento
mi ( r ) = q 4 ϵ 0 π r 2 , r > R

Todo esto me lleva a la siguiente pregunta: ¿Cómo se reconoce en general que se deben usar distribuciones en lugar de funciones ordinarias?

¿No tiene que integrarse sobre un área al considerar la superficie? ∂ tu r ?
Es probable que esto se cierre por ser una pregunta "como tarea" inaceptablemente elaborada. También es una pregunta de "revisar mi trabajo" que normalmente se rechaza. Desafortunadamente, no estoy seguro de qué sugerir.
@DanielSank, este no es un problema de tarea, es una pregunta que se me ocurrió cuando leí en mi libro de texto sobre la ley de Gauss, y ¿por qué está diseñada de manera inaceptable? Tampoco creo que califique como "revisar mi trabajo", porque el nuevo enfoque de la pregunta es explicar por qué surge de repente la necesidad de trabajar con distribuciones y cómo reconocer esa necesidad en general.
Ya sea que el problema realmente provenga o no de una tarea asignada, en realidad no tiene nada que ver con las consideraciones "similares a una tarea" en este sitio. Es un mal uso ridículo de la terminología que, desafortunadamente, probablemente no cambiará en el corto plazo. Lo que aquí se llama "tarea como" simplemente significa que estás pidiendo ayuda para resolver un problema específico. De todos modos, ya sea que esté o no de acuerdo con eso, esta pregunta está a punto de cerrarse y principalmente por ser una pregunta de "tarea como" mal formada. De nuevo, no es mi decisión.
Esta aproximación es solo matemática, algo así como dos cuerpos infinitamente separados y es posible que no te hayas dado cuenta, pero tales aproximaciones matemáticas existen en todas partes en la física. Lo que tienes es una teoría, es decir, las ecuaciones de Maxwell. Ahora que usa esa teoría para calcular ciertas cosas, resulta que estos cálculos suelen ser difíciles de evaluar, ya que pueden involucrar integrales complejas, etc. Así que recurrimos a casos límite que son mucho más fáciles de evaluar. Entonces, obviamente, las ecuaciones de Maxwell se aplican al mundo real y una superficie estrictamente 2d no está presente en el mundo real AFAIK
Estrictamente, las ecuaciones de Maxwell siempre le darán la respuesta incorrecta en la superficie 2d. Pero cuando evalúa el límite, es decir, hacia dónde tiende realmente esta función, puede descifrar un número. Ahora, este número es a veces, la única solución que tenemos. puede romperse. Por lo tanto, lo usamos aproximado para validar la teoría, ya que la capacidad de aplicar la física también depende de sus habilidades para resolver ecuaciones diferenciales. Espero que esto ayude cada vez que vea cosas como carga puntual, carga lineal, etc. Estas aproximaciones están presentes en todas partes, incluso en física superior. Haz que estos sean tus amigos, ya que te ayudarán cuando lo necesites :)
Creo que la pregunta en la edición es realmente buena: ¿cómo reconoce que necesita usar distribuciones? He editado la pregunta para enfatizar ese aspecto. (Naturalmente, sin eso, habría agregado mi voto cercano). También eliminé los comentarios ahora obsoletos publicados antes de la edición anterior.

Respuestas (1)

El uso de distribuciones es un truco que la gente usa cuando se trata de sistemas que no tienen las condiciones requeridas de suavidad e integrabilidad y, en general, es solo una técnica matemática para resolver esos problemas.

Las ecuaciones de Maxwell, para empezar, requieren que ambos lados sean diferenciables (al menos unas cuantas veces) e integrables y cuando haces uso de la ley de Gauss estás aceptando implícitamente todas las hipótesis y requisitos que conlleva. Entre estos, ciertas integrabilidad y condiciones de contorno aquí y allá.

Tener una distribución de carga que siempre es cero excepto, de repente, en un conjunto de medida cero (el límite) es de hecho una de esas condiciones que no satisfacen los requisitos; además, en la naturaleza, las cosas nunca se vuelven cero repentinamente, sino que lo hacen sin problemas. Aquí el truco matemático es que el delta de Dirac tiene la buena propiedad de devolver funciones suaves después de ser integrado y, por lo tanto, oculta el problema. La forma correcta de abordar tales ejercicios es extender el dominio de definición de las ecuaciones de Maxwell en el conjunto dual de funciones (es decir, las distribuciones), permitiendo así condiciones de diferenciabilidad menos estrictas para permitir manipulaciones formales con deltas de Dirac, etc. . Pero a menos que esté asistiendo a clases de teoría cuántica algebraica de campos para matemáticos,

perfecto . +1 ;]
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