¿Las funciones propias son siempre normadas y ortogonales?

Encontré esta prueba simple:

Mostramos que los operadores hermitianos tienen valores propios reales. La definición de un operador hermitiano es

(1) ⟨ ϕ i | A ^ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ i | A ^ | ϕ ⟩ ∗

Entonces sí | ψ ⟩ es un vector propio de A ^ , tenemos

(2) A ^ | ψ ⟩ = λ | ψ ⟩

y por lo tanto

(3) ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ = λ .

Si A ^ es hermitiano, podemos aplicar (1) para que

⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ ∗
λ = λ ∗ .

Lo que no entiendo es el paso de (2) a (3). Me parece que eso sería cierto sólo si ψ está normado ( ⟨ ψ | ψ ⟩ = ∫ ψ ∗ ψ d τ = 1 ).

¿Es cierto en general que los vectores propios/funciones propias de los operadores son normados y ortogonales?

@JohnRennie La pregunta duplicada se refiere a las consecuencias generales de los observables correspondientes a los operadores hermitianos. Esta pregunta parece estar pidiendo una aclaración técnica menor sobre la normalización de vectores propios.
Los vectores propios de @SeanBone se definen simplemente como vectores distintos de cero | ψ ⟩ tal que A | ψ ⟩ = λ | ψ ⟩ . No hay restricciones en la normalización, y puede comprobarlo fácilmente si | ψ ⟩ es un vector propio, entonces también lo es C | ψ ⟩ para cualquier distinto de cero C . Por lo tanto, al pasar de (2) a (3), hay una suposición implícita como sospechas. Comúnmente tomamos estados en QM como de norma unitaria, pero no siempre.
Si la función de onda no está normalizada, las predicciones basadas en ella serán incorrectas. No existe una base teórica para la normalización.

Respuestas (2)

La propiedad de ortogonalidad siempre se puede imponer, pero no se requiere en absoluto en el extracto que ha citado.

La normalización de los vectores propios siempre se puede asegurar (independientemente de si el operador es hermético o no), en virtud del hecho de que si A v = λ v , entonces cualquier múltiplo w = α v de ese vector obedecerá

A w = A α v = α A v = α λ v = λ w .
Por lo tanto, dado cualquier vector propio de cualquier operador, siempre puede asumir (gratis) que se ha normalizado a la unidad.

Sin embargo, esto tampoco es necesario para las manipulaciones que ha citado: si elimina esa normalización, entonces su ecuación ( 3 ) se convierte

(3') ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩ = λ ⟨ ψ | ψ ⟩ ,
en el cual λ ⟨ ψ | ψ ⟩ es (por las propiedades del producto interior) un número real y positivo. El resto de las manipulaciones no se ven afectadas: llegas a
λ ⟨ ψ | ψ ⟩ = λ ∗ ⟨ ψ | ψ ⟩
y todo lo que necesitas hacer es dividir por ⟨ ψ | ψ ⟩ .

Siempre se puede trabajar en una base ortonormal. Por defecto, hacemos esto cuando trabajamos con mecánica cuántica por conveniencia.

Tenga en cuenta que si A ^ | ψ ⟩ = λ | ψ ⟩ , A ^ † | ϕ ⟩ = m | ϕ ⟩ entonces ⟨ ϕ | A ^ | ψ ⟩ es igual a los dos λ ⟨ ϕ | ψ ⟩ y m ∗ ⟨ ϕ | ψ ⟩ , entonces los vectores son ortogonales o λ = m ∗ . Incluso podemos asegurar la ortogonalidad en este caso especial con un cambio de base llamado proceso de Gram-Schmidt . Finalmente, podemos cambiar la escala de los vectores propios para tener una norma unitaria. Esto permite resultados tan convenientes como identificación = ∑ i | i ⟩ ⟨ i | de modo que | Ψ ⟩ = ∑ i ⟨ i | Ψ ⟩ | i ⟩ .

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