¿Cómo se elige la "normalización" de estados no normalizables?

ecuación (2) no se determina unívocamente diciendo que el$\lvert x\rangle$son "estados propios de posición", que es una mala terminología para empezar ya que, de hecho, no son estados admisibles , ya que los estados por definición pertenecen al espacio de Hilbert y deben ser normalizables. Su tratamiento adecuado requiere la noción de espacios amañados de Hilbert .

Sin embargo,$\delta(x-x')$es simplemente la condición para la "base"$\lvert x\rangle$ser ortonormal, es decir, la ec. (2) se impone en lugar de derivarse de nada. Tenga en cuenta que esa forma del "producto interior" implica

$$1 = \int \lvert x\rangle\langle x\rvert\mathrm{d}x,$$ entonces el $\lvert x\rangle$resolver la identidad en una generalización de la forma en que lo hace una base ortonómica contable usual $1 = \sum_n \lvert\psi_n\rangle\langle\psi_n\rvert$. Entonces, de hecho, es la completitud y la ortonormalidad las que producen la ec. (2).

Usando la mecánica cuántica moderna de Sakurai como base para esta respuesta, antes de ver esto en un sistema continuo, podría ser útil verlo primero en un sistema discreto:

Para estados propios de algún operador,$\hat{A}$,$\mid a'\rangle$y$\mid a''\rangle$, tal que$\hat{A}\mid a'\rangle = a'\mid a'\rangle$y$\hat{A}\mid a''\rangle = a''\mid a'\rangle$da la ecuación$\left(a' - a''\right)\left\langle a''\mid a'\right\rangle = 0$

Entonces, queremos que la base propia sea ortonormal, es decir$\left\langle a'\mid a'\right\rangle = 1$y$\left\langle a''\mid a'\right\rangle = 0$para$a'' \neq a'$. Afortunadamente, esta es también la definición del delta de Kronecker:$\left\langle a''\mid a'\right\rangle = \delta_{a', a''}$

Suponiendo que todo el espacio está cubierto por esta base propia, ahora tenemos una base completa.

Ahora, extendiendo esto a un sistema continuo, la función delta de Dirac es la versión continua del delta de Kronecker; vea, por ejemplo, esta pregunta , por lo que es completamente lógico e intuitivo reemplazar el delta de Kronecker en sistemas discretos con la función delta de Dirac. Sí, usar el delta de Kronecker en primer lugar es realmente solo una convención que proporciona la integridad de los estados (como dijiste), pero si no está roto ...

Ahora, en un sistema continuo, tenemos que la identidad es$1 = \int dx\, \mid x\rangle\langle x\mid$, donación$\left\langle x'\mid x''\right\rangle = \int dx\, \left\langle x'\mid x\rangle\langle x\mid x''\right\rangle$y entonces la función delta de Dirac coincide con esto.