Sujetadores y kets de espectro continuo

¿Alguien sabe por qué en la mecánica cuántica la segunda afirmación siempre es cierta?

"Cuando el espectro de un operador A tiene una parte continua, asociamos un sostén ⟨ a | y un ket | a ⟩ a cada elemento a del espectro continuo de A . Obviamente, los sujetadores ⟨ a | y kets | a ⟩ no están en el espacio de Hilbert ".

Los espacios de Hilbert en QM pertenecen a yo 2 , el espacio de funciones cuadradas integrables. Tiene un número infinito contable de dimensiones. Si el espectro es continuo, entonces la dimensión del espacio también es continua, por lo que esos vectores, o bras y kets, ya no están en el espacio de hilbert. Sin embargo, puede generalizar el espacio de hilbert para incluirlos, consulte en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space
Porque si kets o bras estuvieran en el espacio de Hilbert los puntos correspondientes estarían por definición en el espectro discreto o residual, no en el continuo. No existe tal cosa como "dimensión continua", pero el espacio de Hilbert original se puede ampliar para incluir elementos que se pueden interpretar como "vectores propios" para el espectro continuo. Sin embargo, este espacio extendido ("amañado") tiene las mismas dimensiones contables que el original. Un ejemplo es extender L 2 a H − 1 para incluir d funciones, que son "kets" del operador de posición.

Respuestas (1)

Porque por definición los valores propios de un operador A son parte del espectro de puntos σ pag ( A ) . Para operadores autoadjuntos, el espectro continuo es el complemento σ C ( A ) = σ ( A ) ∖ σ pag ( A ) .

Por tanto, si en algún sentido A F = a F para algunos a ∈ σ C ( A ) , F no puede ser un vector propio . Por esta razón no puede pertenecer al espacio de Hilbert.

De hecho, la identidad A F = a F dónde a ∈ σ C ( A ) tiene un sentido diferente al estándar, un sentido distribucional si el espacio de Hilbert es L 2 ( R , d norte X ) .

Vale la pena notar que el espectro de puntos , a pesar de su nombre, puede ser un conjunto continuo, todos R por ejemplo. En este caso, sin embargo, el espacio de Hilbert no sería separable. Un famoso teorema de Stone y von Neumann demuestra que el espacio de Hilbert de una partícula (representación irreducible del grupo de Weyl) debe ser necesariamente separable. Por esta razón, los espacios de Hilbert de sistemas elementales no relativistas en QM son separables y los espectros puntuales son, como mucho, contables.

Para su última oración "Por esta razón, los espacios de Hilbert de sistemas elementales no relativistas en QM son separables y los espectros de puntos son, como mucho, contables". ¿Este punto es espectro de operadores autoadjuntos? También es σ ( A ) en la cima ( σ C = σ ∖ σ pag ) definido como σ := { λ |   A − λ I    no invertible } ?
Con respecto a su primera pregunta, mi afirmación es válida para todos los operadores normales, como auto-adjunto anti auto-adjunto, unitario... En cuanto a la segunda, dado que los operadores auto-adjuntos son cerrados, a ∉ σ ( A ) si y solo si A − a I tiene imagen dada por todo el espacio de Hilbert, es invertible y el operador inverso está acotado.
Bien gracias. Si tiene la oportunidad, consulte MSE mi publicación de teoría espectral .
@ValterMoretti Buena respuesta. Me gustaría confirmar mi comprensión de su respuesta a esta pregunta, por favor. Según tengo entendido, el estado de cualquier sistema está representado por un vector. | ψ ⟩ en un espacio de Hilbert. El tipo de espacio de Hilbert depende del observable en cuestión. Entonces, para los observables de posición y momento, podemos considerar los operadores que actúan en el espacio de Hilbert L 2 ( R ) , pero para girar 1 2 , consideramos el espacio de Hilbert generado por vectores
[ 1 0 ]
y
[ 0 1 ]
pero claramente para el espacio de Hilbert de dimensión finita, la separabilidad se mantiene vacía, por lo que el resultado aún se mantiene. De manera más general, según Stone y von Neumann a los que se refirió, es cierto que para cualquier operador correspondiente a un observable, el espacio de Hilbert en cuestión es separable, por lo tanto, el espectro de puntos es como mucho contable para cualquier observable. ¿Es correcto mi entendimiento? Gracias por tu tiempo.
Sí, lo es: para los espacios orbitales, el espacio de Hilbert es separable esencialmente debido al teorema SvN. Para espacios de dimensión finita (spin), la separabilidad es automática; para sistemas compuestos, la separabilidad está garantizada porque el producto tensorial de espacios separables también es separable.
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