Expresar estado como autos

Tu segunda ecuación no es del todo correcta. Si tiene un conjunto completo continuo de estados$\{|p⟩\}$, entonces la expansión correcta de un estado arbitrario dado$|P⟩$en esa base es de la forma

$$|P⟩ = \int\mathrm dp \: f(p)|p⟩, \tag 1$$ con una sola función arbitraria $f(p)$sobre la variable de indexación $p$como un coeficiente (continuo). Aquí el $dp$denota integración sobre $p$como siempre.

La cuestión de qué significa realmente esa integral, y cómo se define, no es un tema particularmente simple matemáticamente. En esencia, estás tomando una función que toma$p\mapsto f(p)|p⟩$, de modo que convierte los números reales en vectores de estado,$\mathbb R\to\mathcal H$, e integrar funciones con valores vectoriales no es particularmente fácil cuando el espacio vectorial es un espacio enorme como$L_2(\mathbb R)$. Si desea hacer esto correctamente, necesita un análisis funcional bastante grueso y medir la teoría para hacerlo bien.

Lo bueno es que la respuesta se reduce principalmente a "simplemente hazlo componente por componente". Más específicamente, supongamos que desea proporcionar una buena definición para$(1)$. Luego, primero elige alguna base para el espacio, digamos, la representación de la posición$\{|x⟩\}$, y luego proyecta ambos lados para que el componente avance$|x⟩$:

$$⟨x|P⟩ = \int\mathrm dp \: f(p)⟨x|p⟩. \tag 2$$ En realidad, esta es una integral mucho más fácil de definir, porque simplemente tiene una función de valor complejo de una variable real, $p\mapsto f(p)⟨x|p⟩$, dónde $⟨x|p⟩$es una función conocida, por lo que la integral en $(2)$se pliega en las integrales que ya sabemos definir. (En la práctica, desea usar la integral de Lebesgue en lugar de las sumas de Riemann, pero eso es para cuando se preocupe por las consideraciones teóricas de la medida). Si ha hecho todo correctamente y todas sus funciones son lo suficientemente buenas, esto funcionará, y darte el mismo vector $|P⟩$independientemente de la representación que utilice para calcularlo.

Ok, creo que me olvido de algo muy importante. en expreso discreto. Uso cebado para discreto y no cebado para continuo

$$|P'\rangle = \sum^n |p'_n\rangle$$ $|p'\rangle$es diferente de continuo. en caso de posición, el eigenket discreto es probabilidad pero para continuo, su densidad de probabilidad. para continuo $|p\rangle dp$es analogía a $|p'\rangle$en discreto. Entonces, si escribe el expreso de uno continuo en términos de suma $$|P⟩ = \int\mathrm dp \:|p⟩ = \sum^\infty |p\rangle dp \rightarrow \lim_{n\to \infty} \sum^n |p'_n\rangle$$ es como crear una función delta discreta a partir de una función continua $$\delta_{mn} = \delta(m-n)da$$ con $\delta(m-n) = \frac{\delta_{mn}}{da}$, que es "grande" y es analogía a la densidad de probabilidad ket. $\delta_{mn}$es una analogía con la probabilidad ket. Lamento mucho mencionar esto, asumo automáticamente que ambos autos tienen el mismo significado físico que no lo es. (La gente tiende a no cambiar la letra cuando expresan la continua.) Así que esto realmente se trata de la idea de tomar un límite para construir una integración y un abuso de símbolos. Gracias por toda la ayuda y perdón de nuevo por una pregunta tan trivial.