¿Las derivadas totales tienen algo que ver con las extensiones centrales?

Question

¿Las derivadas totales tienen algo que ver con las extensiones centrales?

Física
mentira-álgebra
teoría de grupos
teorema de noethers
relatividad galileana
formalismo lagrangiano

usuario1379857

Recientemente me interesé en el grupo de Galileo y su extensión central y encontré un artículo " Quantization on a Lie group: Higher-order Polarizations " de Aldaya, Guerrero y Marmo.

Antes de hacer mi pregunta, daré un breve repaso sobre el tema. Considere una partícula no relativista que se mueve en una dimensión. El lagrangiano es

L = \frac{1}{2} metro {\dot{X}}^{2} .

$L = \frac{1}{2} m \dot x^2.$

Un impulso galileano envía

X \mapsto X + v t

$x \mapsto x + vt$ o infinitesimalmente,

d X = ε t .

$\delta x = \varepsilon t.$ Si

ε

$\varepsilon$ es una constante, entonces

d L = metro \dot{X} ε = \frac{d}{d t} (metro X ε)

$\delta L = m \dot x \varepsilon = \frac{d}{dt} ( m x \varepsilon)$ es decir,

L

$L$ cambia por una derivada total. Esto significa que podemos usar esta variación de simetría para encontrar una cantidad conservada por el teorema de Noether. (En el documento al que me referí, el hecho de que

L

$L$ cambia por una derivada total llamada "semi-invariancia" de

L

$L$ .)

Si ahora decimos $\varepsilon = \varepsilon(t)$ depende del tiempo, podemos llevar a cabo el procedimiento de Noether para encontrar la cantidad conservada asociada. Así que hagamos eso. Ahora eso $\varepsilon$ depende del tiempo tenemos

d L = metro \dot{X} \frac{d}{d t} (ε t) = metro \dot{X} ε + metro \dot{X} \dot{ε} t .

$\delta L = m \dot x \frac{d}{dt} (\varepsilon t) = m \dot x \varepsilon + m \dot x \dot \varepsilon t.$

Sobre las soluciones a las ecuaciones de movimiento, tenemos

\begin{aligned} 0 & = d S \\ = \int d t d L \\ = \int d t (metro \dot{X} ε + metro \dot{X} \dot{ε} t) \\ = \int d t ε \frac{d}{d t} (metro X - metro \dot{X} t) \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &= \delta S \\ &= \int dt \delta L \\ &= \int dt \big( m \dot x \varepsilon + m \dot x \dot \varepsilon t \big) \\ &= \int dt \ \varepsilon \frac{d}{dt} \big( mx - m\dot x t\big) \end{align*}$

Porque $\delta S = 0$ no importa qué $\varepsilon(t)$ es decir, sabemos que la "carga de impulso"

metro \dot{X} t - metro X

$m \dot x t - mx$ se conserva A menudo esto se reescribe como

pag t - metro X .

$p t - mx.$ Esta cantidad conservada resulta extraña y su interpretación física no está clara. Creo que la mejor manera de pensarlo es que, cuando su sistema tiene invariancia de impulso galileano, se garantiza que su partícula viaje con una velocidad constante. (Literalmente hablando,

m x - p t

$mx - pt$ es

m

$m$ veces la posición inicial de su partícula en

t = 0

$t = 0$ . El hecho de que la posición inicial se pueda calcular de esta forma sencilla se debe a que la velocidad es una constante

p / m

$p/m$ .)

Ahora, el teorema de Noether es una calle de doble sentido. En el formalismo lagrangiano, puede usar simetrías para calcular cantidades conservadas. En el formalismo hamiltoniano, esas cantidades conservadas "generarán" la simetría original. La cantidad conservada $Q$ genera la simetría dada por

d q_{i} = \frac{\partial q}{\partial {pag}_{i}} d {pag}_{i} = - \frac{\partial q}{\partial q_{i}} .

$\delta q_i = \frac{\partial Q}{\partial p_i} {\hspace 1 cm} \delta p_i = -\frac{\partial Q}{\partial q_i}.$

Definir la "carga de impulso" $K$ en el espacio de fase como

k = pag t - metro q .

$K = p t - m q.$ Esto genera

d q = \frac{\partial k}{\partial pag} = t d pag = - \frac{\partial k}{\partial q} = metro

$\delta q = \frac{\partial K}{\partial p} = t{\hspace 1 cm} \delta p = -\frac{\partial K}{\partial q} = m$ que son de hecho los cambios infinitesimales a

q

$q$ y

p

$p$ por un impulso.

La carga de impulso $K$ tiene una relación interesante con el generador de traducción $p$ (el momento). Tenga en cuenta que el corchete de Poisson de los dos es la constante $m$ .

{pag, k} = metro

$\{p, K\} = m$ El grupo galileano es el grupo de traslaciones espaciales, rotaciones, traslaciones temporales y impulsos (todas las simetrías de la mecánica no relativista). Su álgebra de Lie tiene la extensión central, como se escribió anteriormente. Para la partícula cuántica, al realizar una traslación, un impulso, la traslación inversa y el impulso inverso, deja una fase constante proporcional a

m

$m$ . (Esto también puede verse como un caso límite de la alegbra de Poincaré,

[K_{i}, P_{i}] = P_{0}

$[K_i, P_i] = P_0$ , dónde

P_{0}

$P_0$ es la energía. En el

v ≪ c

$v \ll c$ límite,

P_{0} = m

$P_0 = m$ .)

Bien, el preámbulo ha terminado, aquí está mi pregunta. En el documento al que vinculé anteriormente, parecen implicar que la "semi invariancia" de los impulsos (que $L$ cambia por una derivada total y no por $0$ ) está relacionado de alguna manera con la carga central, pero no puedo descifrar si se da una razón concreta.

¿Alguien sabe si existe una relación entre las simetrías que cambian $L$ por una derivada total y cargas centrales?

Respuestas (2)

¿Las derivadas totales tienen algo que ver con las extensiones centrales?

usuario1379857 · Answer 1

Ajá. He descubierto la respuesta, y es bastante agradable. (La respuesta es sí , las derivadas totales tienen mucho que ver con las extensiones centrales). Curiosamente, se remonta a una pregunta que hice hace un tiempo.

En esta pregunta muestro que bajo la pequeña transformación generada por una cantidad conservada $Q$ (que satisface $\{Q, H\} = 0$ ), el lagrangiano $L$ cambiará por

d L = \frac{d}{d t} ({pag}_{i} \frac{\partial q}{\partial {pag}_{i}} - q) .

$\delta L = \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q\Big).$ (El índice repetido

i

$i$ se suma implícitamente de

1

$1$ a

N

$N$ .) Por lo tanto, si

Q

$Q$ satisface

q = {pag}_{i} \frac{\partial q}{\partial {pag}_{i}}

$Q = p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}$ entonces

δ L = 0

$\delta L =0$ . A falta de una palabra mejor, llamaremos a cualquier función

Q

$Q$ satisfaciendo la igualdad anterior una función "invariante", porque deja

L

$L$ invariante. Mientras tanto, si

q \neq {pag}_{i} \frac{\partial q}{\partial {pag}_{i}}

$Q \neq p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}$ entonces

δ L

$\delta L$ es una derivada total, y no invariante.

(He definido este término como "invariante" para resolver la pregunta que nos ocupa. Las funciones "invariantes" parecen tener bastantes buenas propiedades. ¿Alguien sabe si hay un nombre propio para estas funciones y si se sabe más sobre ellas? ¿a ellos?)

Las funciones invariantes son siempre de la forma

q = {pag}_{i} F_{i} (q)

$Q = p_i f_i(q)$ para funciones arbitrarias de posición

f_{i} (q)

$f_i(q)$ . Impulso

(Q = p)

$(Q = p)$ y momento angular

(Q = p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1})

$(Q = p_1 q_2 - p_2 q_1)$ son ejemplos de funciones invariantes. Un hamiltoniano aleatorio

(Q = H)

$(Q = H)$ no es invariante, y en ese caso

δ L = \frac{d}{d t} L

$\delta L = \tfrac{d}{dt} L$ , como se esperaba.

Permítanme ahora dar una revisión rápida de la geometría simpléctica. Para cualquier cantidad $Q$ , podemos hacer que sea un campo vectorial hamiltoniano $X_Q$ , definido como

X_{q} = - \frac{\partial q}{\partial {pag}_{i}} \partial_{q_{i}} + \frac{\partial q}{\partial q_{i}} \partial_{{pag}_{i}} .

$X_Q = -\frac{\partial Q }{\partial p_i} \partial_{q_i} + \frac{\partial Q }{\partial q_i} \partial_{p_i}.$ satisface

X_{q} = {q, \cdot} .

$X_Q = \{ Q, \cdot \}.$ De la identidad jacobi,

{{gramo, h}, F} + {{h, F}, gramo} + {{F, gramo}, h} = 0

$\{ \{g, h\}, f \} + \{ \{h, f\}, g \} + \{ \{f, g\}, h \} = 0$ que se puede reorganizar para ser

{{gramo, h}, F} = {gramo, {h, F}} - {h, {gramo, F}}

$\{ \{g, h\}, f \} = \{g, \{h, f\} \} - \{ h, \{g, f\} \}$

X_{{gramo, h}} (F) = X_{gramo} (X_{h} (F)) - X_{h} (X_{gramo} (F))

$X_{ \{g, h\} } (f) = X_g (X_h (f) ) - X_h (X_g (f))$

X_{{gramo, h}} = [X_{gramo}, X_{h}] .

$X_{ \{g, h\} } = [X_g, X_h].$ Entonces

Q \mapsto X_{Q}

$Q \mapsto X_Q$ es un homomorfismo de álgebra de mentira donde el corchete de Poisson se envía al corchete de mentira. Tenga en cuenta que se envía una función constante al

0

$0$ campo vectorial, que es el origen de cómo el álgebra de Lie de campos vectoriales se extiende centralmente.

Definimos la forma simpléctica como

ω = d q_{i} \land d {pag}_{i} .

$\omega = d q_i \wedge d p_i.$ Tenga en cuenta que

ω (X_{F}, \cdot) = d F

$\omega(X_f, \cdot) = df$ y por lo tanto

ω (X_{F}, X_{gramo}) = {F, gramo} .

$\omega(X_f, X_g) = \{f, g\}.$

Bien, la revisión ha terminado. ¿Qué tiene esto que ver con nuestras funciones "invariantes"? Bueno, tenga en cuenta que la forma 1

θ = {pag}_{i} d q_{i}

$\theta = p_i d q_i$ satisface

ω = - d θ .

$\omega = - d \theta.$ Por lo tanto, se llama el "potencial simpléctico". Su relevancia para nuestra historia es que

\begin{aligned} θ (X_{q}) & = {pag}_{i} d q_{i} (- \frac{\partial q}{\partial {pag}_{j}} \partial_{q_{j}} + \frac{\partial q}{\partial q_{j}} \partial_{{pag}_{j}}) \\ = - {pag}_{i} \frac{\partial q}{\partial {pag}_{i}} \end{aligned}

$\begin{align*} \theta (X_Q) &= p_i dq_i \big( -\frac{\partial Q }{\partial p_j} \partial_{q_j} + \frac{\partial Q }{\partial q_j} \partial_{p_j} \big) \\ &= - p_i \frac{\partial Q }{\partial p_i} \end{align*}$ Por lo tanto, podemos ver que las funciones invariantes satisfacen

q = - θ (X_{q}) .

$Q = - \theta (X_Q).$

Ahora hablemos de las extensiones centrales. Como se discutió en esta otra pregunta , $\omega(X_f, X_g)$ , evaluado en un punto arbitrario $m_0$ , nos da la extensión central de los campos vectoriales a las funciones en el espacio de fase. La ambigüedad en la elección $m_0$ refleja la ambigüedad de agregar "el límite de un 1-cociclo a nuestra extensión central", es decir, una función lineal $b([X_f, X_g])$ . Esto es porque

\begin{aligned} ω ([X_{F}, X_{gramo}], \cdot) & = ω (X_{{F, gramo}}, \cdot) \\ = d ({F, gramo}) \end{aligned}

$\begin{align*} \omega( [X_f, X_g], \cdot ) &= \omega( X_{\{f, g\} }, \cdot ) \\ &= d (\{f, g\} ) \end{align*}$ y entonces

\begin{aligned} b ([X_{F}, X_{gramo}]) & = \int_{{metro}_{0}}^{{metro}_{1}} ω ([X_{F}, X_{gramo}], \cdot) \\ = \int_{{metro}_{0}}^{{metro}_{1}} d ({F, gramo}) \\ = {F, gramo} |_{{metro}_{1}} - {F, gramo} |_{{metro}_{0}} \\ = ω (X_{F}, X_{gramo}) |_{{metro}_{1}} - ω (X_{F}, X_{gramo}) |_{{metro}_{0}} \end{aligned}

$\begin{align*} b([X_f, X_g]) &= \int_{m_0}^{m_1} \omega( [X_f, X_g], \cdot ) \\ &= \int_{m_0}^{m_1}d (\{f, g\} ) \\ &= \{f, g\}\biggr\rvert_{m_1} - \{f, g\}\biggr\rvert_{m_0} \\ &= \omega(X_f, X_g)\biggr\rvert_{m_1} - \omega(X_f, X_g)\biggr\rvert_{m_0} \end{align*}$ como se desee.

Reclamo: Si $f$ y $g$ son funciones invariantes, es decir, satisfacen

F = - θ (X_{F}) gramo = - θ (X_{gramo}),

$f = - \theta(X_f) \hspace{1 cm} g = - \theta(X_g),$ entonces

{F, gramo}

$\{f, g\}$ es también una función invariante.

Prueba 1 (para bebés): Sabemos que podemos escribir

F = {pag}_{i} F_{i} (q) gramo = {pag}_{i} {gramo}_{i} (q)

$f = p_i f_i(q) \hspace {1 cm} g = p_i g_i(q)$ para algunas funciones

f_{i} (q)

$f_i(q)$ y

g_{i} (q)

$g_i(q)$ que son sólo funciones de

q

$q$ . Un cálculo simple produce

{F, gramo} = {pag}_{i} (F_{i}^{'} {gramo}_{i} - F_{i} {gramo}_{i}^{'}) .

$\{f, g\} = p_i (f_i' g_i - f_i g_i').$ Porque

(f_{i}^{'} g_{i} - f_{i} g_{i}^{'})

$(f_i' g_i - f_i g_i')$ es sólo una función de

q

$q$ , Podemos ver eso

{f, g}

$\{f, g\}$ también es invariante.

Prueba 2 (para adultos): usando la expresión libre de coordenadas para la derivada exterior,

\begin{aligned} {F, gramo} & = ω (X_{F}, X_{gramo}) \\ = - d θ (X_{F}, X_{gramo}) \\ = - (X_{F} (θ (X_{gramo})) - X_{gramo} (θ (X_{F})) - θ ([X_{F}, X_{gramo}])) \\ = X_{F} (gramo) - X_{gramo} (F) + θ ([X_{F}, X_{gramo}]) \\ = 2 {F, gramo} + θ ([X_{F}, X_{gramo}]) \end{aligned}

$\begin{align*} \{f, g\} &= \omega(X_f, X_g) \\ &= - d \theta (X_f, X_g) \\ &= - \Big( X_f (\theta(X_g) ) - X_g (\theta(X_f)) - \theta([X_f, X_g]) \Big) \\ &= X_f(g) - X_g(f) + \theta([X_f, X_g]) \\ &= 2 \{f, g\} + \theta([X_f, X_g]) \end{align*}$ lo que implica

{F, gramo} = - θ ([X_{F}, X_{gramo}]) = - θ (X_{{F, gramo}})

$\{f, g\} = - \theta([X_f, X_g]) = - \theta(X_{\{f, g\} })$ demostración

{f, g}

$\{f, g\}$ es invariante, como se desee.

Reclamo: Si $f$ y $g$ son funciones invariantes entonces $\omega(X_f, X_g)$ puede escribirse como una función lineal de $[X_f, X_g]$ , y por lo tanto es el "límite de un 1-cociclo", y por lo tanto es una extensión central trivial. (POR LO TANTO, la extensión central de dos funciones invariantes (funciones que no cambian $L$ por una derivada total) siempre es trivial, ¡como sospechaba!)

Prueba: porque $\{f, g\}$ también es invariante,

\begin{aligned} ω (X_{F}, X_{gramo}) & = {F, gramo} \\ = - θ (X_{{F, gramo}}) \\ = - θ ([X_{F}, X_{gramo}]) \end{aligned}

$\begin{align*} \omega(X_f, X_g) &= \{f, g\} \\ &= - \theta ( X_{ \{f, g\} } ) \\ &= - \theta ( [X_f, X_g ] ) \end{align*}$ concluyendo así la demostración.

Por cierto, si eliges el punto base $m_0$ ser el origen, donde todo $p_i = 0$ , entonces la forma simpléctica evaluada allí es $0$ si ambos $f$ y $g$ son invariantes, dándonos una comprensión explícita de que la carga central realmente es cero:

ω (X_{F}, X_{gramo}) |_{{metro}_{0}} = {F, gramo} |_{{metro}_{0}} = {pag}_{i} (F_{i}^{'} {gramo}_{i} - F_{i} {gramo}_{i}^{'}) |_{{metro}_{0}} = 0.

$\omega(X_f, X_g)\biggr\rvert_{m_0} = \{f, g\}\biggr\rvert_{m_0} = p_i (f_i' g_i - f_i g_i')\biggr\rvert_{m_0} = 0.$

Ahora hemos desarrollado una bonita pequeña teoría de estas funciones "invariantes". Podemos ver que la extensión central que surge del corchete de Poisson de dos funciones invariantes cualesquiera es siempre trivial. Por lo tanto, si dos funciones cualquiera SÍ obtienen una extensión central, entonces una de las dos funciones no puede ser invariante. Por ejemplo, $\{q, p\} = 1$ implica que uno de $q$ o $p$ no puede ser invariante. Y por supuesto, es obvio $q$ ese es el no invariante. Así mismo, en el caso de $\{K, p\} = m$ , Podemos ver eso $K$ tampoco es una función invariante porque cambia el Lagrangiano por una derivada total.

(¿No parece que esta historia es relevante para la historia de la carga central de Brown Henneaux? Los difeomorfismos pequeños no desarrollan una carga central, pero los grandes sí).

qmecanico · Answer 2

La cuasisimetría de los impulsos de Galileo y la extensión central del álgebra de Galileo al álgebra de Bargmann se analizan, por ejemplo, en las Refs. 1-2 y esta publicación de Phys.SE.

FWIW, no es cierto que cualquier cuasisimetría esté asociada con una extensión central. Contraejemplo: considere la cuasisimetría $\delta x^k=\varepsilon \dot{x}^k$ del lagrangiano $L(x,\dot{x})=\frac{m}{2}\dot{x}^2-V(x)$ . La cantidad conservada es solo la energía, es decir $H$ en la formulación hamiltoniana.

Referencias:

V. Aldaya, J. Guerrero & G. Marmo, Quantization on a Lie group: Higher-order Polarizations, arXiv:physics/9710002 ; pag. 6-8.
R. Andringa, E. Bergshoeff, S. Panda y M. de Roo, Newtonian Gravity and the Bargmann Algebra, arXiv:1011.1145 ; pag. 11

En la pregunta a la que se vincula, David Bar Moshe señala que los impulsos no se van $\theta = p dq$ invariante. Estaba pensando que tal vez esto tenía algo que ver con el álgebra de precuantificación $Q(f) = - i \hbar X_f - \theta(X_f) + f$ que es una extensión central del álgebra de Lie de los campos vectoriales.

¿Las derivadas totales tienen algo que ver con las extensiones centrales?

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