Demostrar que una teoría es invariante de escala

Soy un poco nuevo en estas transformaciones invariantes para campos, por lo que he tenido problemas para manipularlos y agradecería cualquier orientación.

Vi en este artículo de wikipedia que, por ejemplo, un$\phi^4$teoría, que tiene el Lagrangiano:

$L=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2+g\phi^4$

es invariante bajo las transformaciones:

$x\rightarrow\lambda x \ \ \ \ \ t\rightarrow\lambda t \ \ \ \ \ \phi\rightarrow\lambda^{-1}\phi$

Intenté verificar esto comenzando desde la transformación de escala general:

$x^\mu\rightarrow\lambda x^\mu \ \ \ \ \ \phi\rightarrow \lambda^{-a}\phi$

Para realmente encontrar eso$a=1$para esta teoría. Sustituyendo en el lagrangiano obtengo:

$L=\frac{1}{2}(\partial_\mu(\lambda^{-a}\phi))^2+g(\lambda^{-a}\phi)^4$

$L=\frac{1}{2}\lambda^{-2a}(\partial_\mu\phi)^2+g\lambda^{-4a}\phi^4$

Dado que la acción es invariante si recuperamos el lagrangiano original más una derivada total, de alguna manera tengo que separar los términos para recuperar esto. Podría demostrar que esta teoría sí es invariante. Sin embargo, no sé cómo proceder.

Sin embargo, si tomo la derivada de la transformación:

$\phi'(x')=\lambda^{-a}\phi(x) \ \rightarrow \ \partial\phi'(x')=\lambda^{-a}\partial\phi'(x')=$

Pero también:

$\phi'(x')=\phi'(\lambda x) \ \rightarrow \ \partial\phi'(x')=\lambda^{-1}\partial\phi'(x')$

Igualando ambos términos me da$a=1$. Sin embargo, dado que esto solo depende de la derivada, debería aplicarse a cualquier teoría y no solo$\phi^4$, así que supongo que estoy haciendo algo mal.