Lagrangiano de la vibración del modo de estiramiento de la molécula de acetileno

En realidad, esto es parte de una pregunta de tarea en mi clase de mecánica clásica. La pregunta me obliga a derivar las frecuencias propias de los modos de flexión y estiramiento de la molécula de acetileno bajo la aproximación armónica.

para la molecula$\rm H-C\equiv C-H$, con masas de los átomos$m_{\rm H}$y$m_{\rm C}$, rigidez de los enlaces$k_{CC}$y$k_{HC}$, y las longitudes de equilibrio de los enlaces$l_{CC}$y$l_{CH}$. Enumerando los átomos de izquierda a derecha, deberíamos tener el Lagrangiano para que el modo de estiramiento sea

$$L = \frac{m_H}{2}(\dot{x_1}^2 + \dot{x_4}^2) + \frac{m_C}{2}(\dot{x_2}^2 + \dot{x_3}^2) - \frac{k_{HC}}{2}[(x_4 - x_3 - l_{HC})^2 + (x_2 - x_1 - l_{HC})^2] - \frac{k_{CC}}{2}[(x_3 - x_2 - l_{CC})^2].$$

Naturalmente, requerimos que el momento total y el momento angular sean cero para eliminar las traslaciones y rotaciones de la molécula como un todo.

Y parte de la pista para la pregunta proporcionada por mi profesor es la siguiente:

Simplifica el Lagrangiano explorando la simetría. Piense detenidamente en la buena elección de las coordenadas generalizadas, recuerde los modos simétricos/antisimétricos.

Sé que a partir de la suposición del momento de fuga, tenemos

$$m_H(u_1 + u_4) + m_C(u_2 + u_3) = 0,$$ dónde$u_i$es la derivación del átomo$i$de su posición de equilibrio. Pero, ¿cómo puedo simplificar el Lagrangiano a partir de esto y la simetría de la molécula? ¡Cualquier ayuda es muy apreciada! :)