Invariancia de Lagrangian en el teorema de Noether

Aquí me gustaría mencionar la noción de cuasi-simetría. En general, si el Lagrangiano (resp. Lagrangiano densidad resp. Acción) solo es invariante hasta una derivada de tiempo total (resp. Espacio-tiempo divergencia resp. Término límite) cuando se realiza una determinada$^1$variación, se habla de una cuasi-simetría, véase, por ejemplo, Ref. 1.

El primer teorema de Noether también se cumple para cuasi-simetrías. Para ver ejemplos de leyes de conservación no triviales asociadas con cuasi-simetrías, consulte los ejemplos 1, 2 y 3 en el artículo de Wikipedia para el teorema de Noether .

Referencias:

1. JV Jose & EJ Saletan, Dinámica Clásica: Un Enfoque Contemporáneo, 1998; pags. 565.

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$^1$Aquí la palabra off-shell significa que las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL). No se supone que el movimiento se mantenga bajo la variación específica. Si asumimos las ecuaciones EL. de movimiento para sostener, cualquier variación del Lagrangiano es trivialmente una derivada total.

Me gustaría decir que el teorema estándar de Noether se aplica mucho al caso de que$\delta L = \dot f$. Por ejemplo, la traducción del tiempo es de esta forma. Podemos ver esto realizando el procedimiento de Noether para una traducción de tiempo minúscula.

$$q(t) \to q(t + \varepsilon) \approx q(t) + \varepsilon \dot q(t)\\ \dot q(t) \to \dot q(t) + \varepsilon \ddot q(t)$$ esto envía $$L \to L + \varepsilon \dot L$$ como fue prometido. Si luego hacemos$\varepsilon$en una pequeña función dependiente del tiempo$\varepsilon(t)$, ahora tenemos

$$q(t) \to q(t) + \varepsilon(t) \dot q(t) \\ \dot q(t) \to \dot q(t) + \varepsilon(t) \ddot q(t) + \dot \varepsilon(t) \dot q(t).$$

Después de jugar un poco con la regla de la cadena del cálculo de múltiples variables, encontramos que esto envía

$$L \to L + \varepsilon \dot L + \dot \varepsilon \dot q \frac{\partial L}{\partial \dot q}$$

Entonces usamos el hecho de que$\delta S = 0$en soluciones a las ecuaciones de movimiento, y después de una integración por partes encontrar que

$$\frac{d}{dt} ( p \dot q - L ) = 0$$

en las soluciones de las ecuaciones de movimiento. Esto es solo la conservación de la energía.

Simetrías TLDR que cambian$L$por una derivada total simplemente se incorporan al teorema de Noether sin tener que hacer nada extra. Las traducciones de tiempo son un ejemplo de esto.

Sin embargo,$\delta L \propto L$es un poco más exótico. Realización del procedimiento de Noether sobre el Lagrangiano de una partícula libre$(L = m \dot q^2 / 2)$que tiene una simetría de escala$q \to (1+\varepsilon) q$, encuentro que la "ley de conservación" (si quieres llamarla así) es solo$m q\ddot q = 0$, que es trivialmente$0$de todos modos en las ecuaciones de movimiento.